Μια «φυσική» απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος

Θεωρούμε ένα ‘ενυδρείο’ σε σχήμα ορθογωνίου τριγωνικού πρίσματος με κάθετες πλευρές α , b και υποτείνουσα c. To ενυδρείο μικρού πλάτους ℓ βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Γεμίζουμε το ενυδρείο με νερό και εξαιτίας της πίεσης P του νερού (*) ασκούνται οι πλευρικές οριζόντιες δυνάμεις Fα=P∙ℓ∙α, Fb=P∙ℓ∙b και Fc=P∙ℓ∙c, στα μέσα των πλευρών όπως βλέπουμε στο επόμενο σχήμα:

Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο κι αυτό αρχίσει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Z, τότε κατασκευάσαμε αεικίνητο και λύσαμε το ενεργειακό πρόβλημα. Όμως κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει, οπότε η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα Z είναι μηδέν: Fα∙α/2+ Fb∙b/2-Fc∙c/2=0 ή P∙ℓ∙α2/2+P∙ℓ∙b2/2-P∙ℓ∙c2/2=0, και έτσι προκύπτει … το πυθαγόρειο θεώρημα: α2+b2=c2

πηγή: Mark Levi, ‘THE MATHEMATICAL MECHANIC using physical reasoning to solve problems’, Princeton University Press

(*) Στο σημείο αυτό μπορεί κανείς να πει (και θα έχει δίκιο) ότι οι δυνάμεις σε κάθε πλευρά εξαιτίας της υδροστατικής πίεσης είναι Fα=ρ∙g∙α∙ℓ2/2, Fb=ρ∙g∙b∙ℓ2/2 και Fc=ρ∙g∙c∙ℓ2/2, κάτι που χρειάζεται ολοκλήρωμα για να υπολογιστεί. Τότε όμως η απόδειξη του πυθαγορείου θα φαίνεται σαν να σπάμε καρύδια με βαριοπούλα! Από την άλλη, κάποιος άλλος θα ισχυριστεί ότι αποφεύγουμε την υδροστατική πίεση αν βάλουμε το νερό υπό πίεση P μέσα στο δοχείο και εκτελέσουμε το πείραμα εκτός πεδίου βαρύτητας, διασώζοντας έτσι την απλότητα της απόδειξης.



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: