Το παράδοξο του Bertrand

Το παράδοξο του Bertrand είναι ένα πρόβλημα πιθανοτήτων που παρουσιάζεται στο βιβλίο του «Calcul des probabilités (1889)» και διατυπώνεται ως εξής: Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν χαράξουμε τυχαία μια οποιαδήποτε χροδή του κύκλου, ποιά είναι η πιθανότητα η χορδή να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου;

Ο Bertrand ανέπτυξε τρεις διαφορετικές μεθόδους επίλυσης, η κάθε μία από τις οποίες δίνει διαφορετική πιθανότητα!

1. Επιλέγουμε δυο τυχαία σημεία στην περιφέρεια του κύκλου και σχεδιάζουμε την χορδή που τα ενώνει. Φανταζόμαστε μία κορυφή του εγγεγραμμένου τριγώνου να ταυτίζεται με ένα από τα δυο άκρα της χορδής. Αν το άλλο άκρο της χορδής βρίσκεται μέσα στο τόξο που ορίζουν οι άλλες δυο κορυφές του τριγώνου, τότε η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς. Διαφορετικά είναι μικρότερο.

Οι μπλε χορδές είναι μικρότερες από την πλευρά του εγγεγραμμένου στον κύκλο τριγώνου, ενώ οι κόκκινες μεγαλύτερες.

Είναι σαφές ότι στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα η χορδή να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου είναι 1/3.

2. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του κύκλου και κατασκευάζουμε μια χορδή με το επιλεγμένο σημείο ως μέσο. Η χορδή θα είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου αν το επιλεγμένο σημείο βρίσκεται μέσα σε έναν ομόκεντρο κύκλο με ακτίνα την μισή ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου.

Δεδομένου ότι το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου, η πιθανότητα η τυχαία χορδή να είναι μεγαλύτερη την πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου είναι 1/4.

3. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο σε μια ακτίνα του κύκλου και κατασκευάζουμε την χορδή που είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο αυτό. Φανταζόμαστε το ισοσκελές τρίγωνο να έχει κάθετη την μια πλευρά του στην εν λόγω ακτίνα.

Η πλευρά του τριγώνου διχοτομεί την ακτίνα, επομένως η πιθανότητα μια τυχαία χορδή είναι μεγαλύτερη από μια πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου είναι 1/2.

Οι τρεις λύσεις που παρουσίασε ο Bertrand αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεθόδους επιλογής της χορδής κάτι που ίσως ισοδυναμεί με τρία διαφορετικά προβλήματα, οπότε δεν υπάρχει λόγος να είναι προτιμητέα κάποια από αυτές. Πολλοί όμως διαφωνούν θεωρώντας ότι το παράδοξο δεν έχει ακόμα επιλυθεί ακόμα …

… δείτε δυο σχετικά βίντεο από το Numberphile (σε συνεργασία με το 3blue1brown):

διαβάστε περισσότερα ΕΔΩ: https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

1 reply

Trackbacks

  1. Παίζοντας με το παράδοξο του Bertrand. – Υλικό Φυσικής – Χημείας

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: