Ομάδες Galois και συμμετρίες πολυωνύμων

Εστιάζοντας στις σχέσεις μεταξύ των ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων και όχι στις ίδιες τις ρίζες, ο Évariste Galois άλλαξε την πορεία των σύγχρονων μαθηματικών.

Στις αρχές Ιουνίου του 1832 στο Παρίσι ξέσπασε μια μεγάλη εξέγερση. Έτσι, ελάχιστοι πρόσεξαν μια σύντομη είδηση που εμφανίστηκε εκείνες τις ταραγμένες ημέρες στην Gazette des Hôpitaux: «Ο Évariste Galois, 20 ετών, καλός μαθηματικός, διάσημος για τη φλογερή φαντασία του, πέθανε στις 12 π.μ. από οξεία περιτονίτιδα οφειλόμενη σε σφαίρα που εβλήθη από απόσταση 25 βημάτων» . Πεθαίνοντας άφησε ένα ανολοκλήρωτο μαθηματικό χειρόγραφο 60 σελίδων, που κατέληξε στα χέρια του φίλου του Auguste Chevalier, ο οποίος δεν έβρισκε κανέναν να το δημοσιεύσει. Έπρεπε να φτάσει το 1846 για να τυπωθεί το χειρόγραφο. Η θεωρία που αναπτυσσόταν στο άρθρο άσκησε βαθιά επίδραση όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στην φυσική (Évariste Galois: ένας επαναστάτης μαθηματικός)

Πριν τραυματιστεί θανάσιμα σε μονομαχία, ο Évariste Galois σε ηλικία 20 ετών ανακάλυψε την κρυμμένη δομή των πολυωνυμικών εξισώσεων. Μελετώντας τις σχέσεις μεταξύ των ριζών τους – και όχι τις ρίζες από μόνες τους – δημιούργησε νέες έννοιες που πλέον αποτελούν απαραίτητο τμήμα πολλών κλάδων των μαθηματικών.

Κανείς δεν γνωρίζει γιατί ο Galois κατέληξε σε μονομαχία στο Παρίσι νωρίς το πρωί της 30ης Μαΐου 1832, αλλά το προηγούμενο βράδυ, ο μύθος λέει ότι ξενύχτησε ολοκληρώνοντας τα τελευταία του χειρόγραφα, όπου διατυπώνει την σχέση μεταξύ ομάδων και πολυωνιμικών εξισώσεων. Τότε έγραψε: «Στην θεωρία των εξισώσεων εξέτασα περιπτώσεις όπου οι εξισώσεις είναι δυνατόν να επιλυθούν με ριζικά. Αυτό μου έδωσε την ευκαιρία να αναπτύξω πληρέστερα την θεωρία και να περιγράψω όλους τους δυνατούς μετασχηματισμούς μιας εξίσωσης οι οποίοι είναι αποδεκτοί ακόμη και όταν αυτή είναι αδύνατον να επιλυθεί με ριζικά»

Στην τελευταία του επιστολή ο Évariste Galois έγραφε μεταξύ άλλων: «Σας ικετεύω πατριώτες και φίλοι μου να μη με κατηγορήσετε που δεν πεθαίνω για τη χώρα μου. Πεθαίνω θύμα μιας αχρείας, φιλάρεσκης γυναίκας και δυο ανόητων αφοσιωμένων σ’ αυτήν. Σε μια άθλια συμπλοκή η ζωή μου χάνεται. Ω! γιατί πεθαίνω για κάτι τόσο ποταπό! – Συγχωρήστε εκείνους που με σκότωσαν, είναι άνθρωποι καλής πίστης»

Οι ιδέες του Galois προέκυψαν από ένα μαθηματικό αδιέξοδο. Τον 16ο αιώνα, οι μαθηματικοί είχαν μελετήσει πολυώνυμα όπως x− 2 και x− 10x+ 22. Είχαν προσπαθήσει να βρουν απλούς τύπους που θα τους επέτρεπαν να υπολογίσουν τις ρίζες αυτών των πολυωνύμων – τις τιμές του x που μηδενίζουν τα πολυώνυμα – αλλά μπορούσαν να τις βρουν μόνο όταν ο μεγαλύτερος εκθέτης του πολυωνύμου ήταν μικρότερος ή ίσος του 4.

Για εκθέτες μεγαλύτερους από το 4, ο ίδιος ο Galois απέδειξε ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι τύποι. Κατάστρωσε λοιπόν έναν νέο τρόπο μελέτης των ριζών: Αντί να τις υπολογίσει ακριβώς, συνειδητοποίησε ότι μπορούσε να μελετήσει τις μεταξύ τους αλγεβρικές σχέσεις – εστιάζοντας στην πολυπλοκότητά τους και όχι σε τύπους που τις υπολογίζουν.

Το νόημα της οπτικής του ήταν παρόμοιο με την θεώρηση των διαφορετικών συμμετριών ενός σχήματος. Αυτοί είναι οι διάφοροι τρόποι αναπροσανατολισμού του σχήματος έτσι ώστε να εξακολουθεί να φαίνεται το ίδιο, όπως η περιστροφή ενός τετραγώνου κατά 180 μοίρες. Οι συμμετρίες μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου είναι τρόποι εναλλαγής τους έτσι ώστε να διατηρούν την ίδια αλγεβρική σχέση.

Και όπως ορισμένα σχήματα έχουν περισσότερες συμμετρίες από άλλα (ένας κύκλος έχει άπειρες, ένα τετράγωνο έχει μόλις οκτώ), μπορείτε να αναδιατάξετε τις ρίζες ορισμένων πολυωνυμικών εξισώσεων πιο ελέυθερα από ότι μπορείτε να αναδιατάξετε τις ρίζες άλλων.

“ Ορισμένοι τρόποι αναδιάταξης των ριζών μπορεί να είναι ασύμβατοι με τους κανόνες της άλγεβρας. Με αυτή την έννοια, οι ρίζες μπορεί να μην είναι εντελώς εναλλάξιμες μεταξύ τους», λέει ο Brian Conrad από το Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ.

Ο βαθμός στον οποίο οι ρίζες μπορούν να εναλλάσσονται μεταξύ τους διατηρώντας παράλληλα την αλγεβρική τους συνοχή είναι μια λεπτή ιδιότητα που λέει στους μαθηματικούς πώς να αναγνωρίσουν τα χαρακτηριστικά των πολυωνύμων που δεν είναι ορατά με την πρώτη ματιά. Είναι πιο εύκολο να το δούμε με παραδείγματα. Ας ρίξουμε μια ματιά σε δύο πολυώνυμα, καθένα από τα οποία έχει τρεις ρίζες (αφού ο μεγαλύτερος εκθέτης τους είναι το 3):

f(x) = x3 − 7x + 5

g(x) = x3 − 7x + 7

Φαίνονται, σχεδόν πανομοιότυπα. Αλλά πίσω από την σκηνή, οι ρίζες του πρώτου μπορούν να αναδιαταχθούν με περισσότερους τρόπους από τις ρίζες του δεύτερου.

Ας επικεντρωθούμε πρώτα στο f(x). Εδώ, έχουμε τρεις ρίζες: a, b και c. Μπορούμε να τις συνδυάσουμε αλγεβρικά για να δημιουργήσουμε μια νέα τιμή παίρνοντας τα γινόμενα των ζευγών ριζών και στη συνέχεια προσθέτοντάς τα. Για όλα τα κυβικά πολυώνυμα – αυτά των οποίων ο μεγαλύτερος εκθέτης τους είναι το 3 – με συντελεστή 1 στην κυβική δύναμη, είναι γνωστό ότι η συγκεκριμένη αλγεβρική έκφραση που προέρχεται από τις ρίζες ισούται πάντα με τον συντελεστή του σταθερού όρου ή του συντελεστή του όρου που είναι υψωμένος στην πρώτη δύναμη. Στο παράδειγμά μας, είναι το −7.

Παίρνουμε την εξής αλγεβρική εξίσωση: ab + ac + bc = −7. Τώρα εναλλάσσοντας τις ρίζες a και b, αφήνοντας την c στην θέση της, παίρνουμε: ba + bc + ac = −7.

Η αναδιάταξη των ριζών με αυτόν τον τρόπο διατηρεί την αλγεβρική σχέση μεταξύ τους: Η εξίσωση εξακολουθεί να ισχύει, διότι ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση είναι μεταθετικές πράξεις, που σημαίνει ότι η εναλλαγή της σειράς των πραγμάτων – όπως η εναλλαγή των των ριζών – δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Στην πραγματικότητα, σ’ αυτό το παράδειγμα, και οι έξι πιθανοί τρόποι αναδιάταξης των ριζών διατηρούν τη σχέση:

a, b, c: ab + ac + bc = 7
b, a, c: ba + bc + ac = −7
c, b, a: cb + ca + ba = −7
a, c, b: ac + ab + cb = −7
b, c, a: bc + ba + ca = −7
c, a, b: ca + cb + ab = −7

Tώρα ας εξετάσουμε το δεύτερο πολυώνυμο, g(x) = x3 − 7x + 7. Αν συμβολίσουμε τις ρίζες του με r, s και t, τότε ισχύει και μια ανάλογη εξίσωση όπως στο πολυώνυμο f(x):

rs + rt + st = −7.

Αυτό θα ισχύει για κάθε κυβικό πολυώνυμο του οποίου ο κυβικός όρος είναι x3 και ο γραμμικός όρος είναι −7x. Και πάλι, και οι έξι από τις πιθανές αναδιατάξεις εξακολουθούν να είναι ίσες με −7. Περιέργως, όμως, για το g(x), δεν θεωρούνται όλες αυτές συμμετρίες του πολυωνύμου.

Αυτό συμβαίνει επειδή οι αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ των ριζών του είναι πιο περίπλοκες: Υπάρχει μια πρόσθετη ειδική αλγεβρική σχέση που ικανοποιούν οι ρίζες της. Η ειδική σχέση είναι (r – t) (r – s) (t – s) = 7 (όταν υποθέτουμε ότι το r είναι μικρότερο από το s και το s είναι μικρότερο από το t). Μόνο τρεις από τις έξι πιθανές ανακατατάξεις των ριζών του διατηρούν και τις δύο αλγεβρικές σχέσεις: rs + rt + st = 7 και (r – t) (r – s) (t – s) = 7:

rst: (− t)(r − s)(t − s) = 7
srt: (− t)(− r)(− r) = −7
tsr: (− r)(− s)(− s) = −7
rts: (− s)(− t)(− t) = −7
str: (− r)(− t)(− t) = 7
trs: (− s)(− r)(− r) = 7

Οι τρεις ανακατατάξεις με μπλε χαρακτήρες διατηρούν όλες τις αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ των ριζών, ακόμη και πέρα ​​από αυτές τις δύο. Κατά συνέπεια, αυτές οι τρεις ανακατατάξεις θεωρούνται οι συμμετρίες του πολυωνύμου.

Δεν είναι προφανές με μια ματιά ότι τα δύο πολυώνυμα έχουν διαφορετικά επίπεδα πολυπλοκότητας, αλλά αυτό γίνεται ορατό όταν υιοθετήσετε την προοπτική που εφηύρε ο Galois.

Ο Galois εφάρμοσε τον τρόπο σκέψης του σε νέα αντικείμενα – τα οποία ονομάστηκαν ομάδες Galois – που κωδικοποιούν την πολυπλοκότητα των αλγεβρικών σχέσεων μεταξύ των ριζών ενός δεδομένου πολυωνύμου. Μέσα σε αυτές τις σχέσεις, οι αναδιατάξεις των ριζών μπορούν να εφαρμοστούν η μία μετά την άλλη, αλλά μπορούν να αναιρεθούν και να επιστρέψουν εκεί που ξεκινήσατε – όπως μπορείτε να εφαρμόσετε τις συμμετρίες ενός τετραγώνου και στη συνέχεια να τις αναιρέσετε για να επιστρέψετε στην ακριβή θέση που ξεκινήσατε.

O Galois εργάστηκε με ομάδες μεταθέσεων – τρόπους αναδιάταξης ενός συνόλου αντικειμένων. Στην περίπτωσή του, τα αντικείμενα ήταν οι ρίζες ενός πολυωνύμου.

Αυτή η ιδέα αντανακλά τη γενική έννοια μιας ομάδας στα μαθηματικά, η οποία είναι μια συλλογή συμμετριών, είτε εφαρμόζονται σε ένα τετράγωνο είτε στις ρίζες ενός πολυωνύμου. Οι ομάδες Galois ήταν οι πρώτες περιπτώσεις που εφαρμόστηκε η έννοια της ομάδας και οι ιδέες του Évariste Galois οδήγησαν σε έναν από τους σύγχρονους σημαντικούς ερευνητικούς τομείς που ονομάζεται θεωρία ομάδων.

Οι ομάδες Galois μας παρέχουν μια ισχυρή προοπτική μέσα από την οποία μπορούν να μελετηθούν οι πολυωνυμικές εξισώσεις. Aν γνωρίζετε την ομάδα Galois ενός πολυωνύμου, τότε η συμπεριφορά των ριζών του μπορεί να γίνει κατανοητή με πρόσβαση σε πολλά από τα εργαλεία της θεωρίας ομάδων. Οι γνώσεις που θα αποκτήσετε μέσω αυτής της προσέγγισης είναι πολύ πιο διαφωτιστικές από αυτές που μπορείτε να πάρετε εκτελώντας άλγεβρα στο ίδιο το πολυώνυμο.

[Με τις ομάδες Galois] λαμβάνετε αυτήν την ενιαία πληροφορία που επεκτείνεται και σας λέει πολλά περισσότερα», δηλώνει ο David Harbater από το Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια.

Για παράδειγμα, η ομάδα Galois σας λέει αμέσως αν ένα πολυώνυμο μπορεί να επιλυθεί και σας επιτρέπει να συγκρίνετε την υποκείμενη δομή διαφορετικών πολυωνύμων. Οι ομάδες Galois μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την μελέτη διαφόρων μαθηματικών αντικειμένων στην άλγεβρα και την θεωρία αριθμών με τρόπους που δίνουν λύσεις σε προβλήματα που με άλλες μεθόδους φαίνονται απρόσιτες.

«Η μετατροπή μιας ερώτησης για πολυώνυμα σε ερώτηση για ομάδες ανοίγει την πόρτα σε πολλές άλλες μαθηματικές διαδικασίες και τεχνικές που δεν μπορούν να περιγραφούν εύκολα στην αρχική γλώσσα των πολυωνύμων», συμπληρώνει ο Conrad.

Αυτή η επεκτατικότητα επέτρεψε στις ομάδες Galois να διαδραματίσουν κεντρικό ρόλο σε πολλές από τις πιο ξακουστές μαθηματικές εργασίες του περασμένο αιώνα. Εμφανίζονται στην απόδειξη του Gerd Faltings το 1983 για την εικασία του Mordell και την απόδειξη του Andrew Wiles το 1994 του τελευταίου θεωρήματος του Fermat

Οι ομάδες Galois βρίσκονται επίσης στο επίκεντρο μερικών από τις πιο συναρπαστικές εργασίες στα μαθηματικά σήμερα. Αποτελούν την βάση του τεράστιου προγράμματος Langlands, το οποίο μετατρέπει μια ερώτηση σχετικά με τα πολυώνυμα σε μια πιο προχωρημένη και αποκαλυπτική ερώτηση σχετικά με τη σχέση μεταξύ των ομάδων Galois και μιας άλλης ειδικής κατηγορίας ομάδων.

Αν και η ζωή του Évariste Galois ήταν πολύ σύντομη, το μεγαλειώδες επίτευγμά του θα συνεχίσει να προάγει τα μαθηματικά για τους επόμενους αιώνες – αν και είναι δύσκολο να προβλέψουμε πως ακριβώς θα γίνει αυτό.

Οι ομάδες Galois εκπλήσσουν γιατί εμφανίζονται σε μέρη που κανείς δεν περιμένει.

πηγή: https://www.quantamagazine.org/how-galois-groups-used-polynomial-symmetries-to-reshape-math-20210803/



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: