Οι μυστηριώδεις ιδιότητες των αριθμών Heegner

Μια πρωταπριλιάτικη φάρσα

Την Πρωταπριλιά του 1975, ο Martin Gardner – γνωστός από την στήλη του με μαθηματικά προβλήματα και γρίφους στο περιοδικό Scientific American – , ισχυρίστηκε ότι η έκφραση

e^{\pi \sqrt{163}}

παριστάνει έναν ακέραιο αριθμό και ότι αυτό είχε προβλεφθεί από τον Ramanujan. Εκείνη την εποχή τα κομπιουτεράκια δεν είχαν μεγάλη ακρίβεια κι αυτός ισχυρισμός φαινόταν με μια πρόχειρη ματιά ως αληθής. Ότι δηλαδή το e^{\pi \sqrt{163}} ‘ισούται’ με τον ακέραιο αριθμό:

262537412640768744

Όμως, μια προσεκτικότερη ανάλυση δείχνει ότι ο σωστός υπολογισμός απλά προσεγγίζει εντυπωσιακά τον παραπάνω ακέραιο:

e^{\pi \sqrt{163}} = 262537412640768743,999999999999250072...

Αυτή η εντυπωσιακή προσέγγιση του e^{\pi \sqrt{163}} προς έναν ακέραιο αριθμό δεν είναι και τόσο τυχαία, αλλά σχετίζεται με την θεωρία αριθμών και το γεγονός ότι το 163 είναι «αριθμός Heegner» .

Oi αριθμοί Heegner είναι οι εξής εννέα αριθμοί: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, και το 163 που είναι ο μεγαλύτερος αριθμός Heegner.

Σχεδόν ακέραιους αριθμούς δίνουν εκτός από τον 163 και οι 19, 43, 67 με αντίστοιχες εκφράσεις:

e^{\pi \sqrt{67}} =147197952743,9999986624...

e^{\pi \sqrt{43}} =884736743,9997774...

e^{\pi \sqrt{19}} =884736743,9997774...

Iσχύουν επίσης και οι παρακάτω σχέσεις:

Μια γεννήτρια πρώτων αριθμών

Ο σχεδόν ακέραιος e^{\pi \sqrt{163}} συνδέεται με ένα παράξενο γεγονός που ανακάλυψε ο Euler: ότι για n = 0, 1, 2, …, 39 η πολυωνυμική παράσταση n² + n + 41 μας δίνει διαφορετικούς πρώτους αριθμούς! Η μυστηριώδης αυτή σύνδεση βασίζεται στην σχέση μεταξύ του σταθερού όρου του τριωνύμου και του αριθμού Heegner: 163=4·41−1 ή 41=(163+1)/4. Παρόμοια αποτελέσματα έχουμε για την γενικευμένη παράσταση n² + n + p , για n= 0, 1, 2, …, p-2, όπου p=(h+1)/4 και h=αριθμός Heegner.

Για να κατανοηθούν αυτές οι μυστηριώδεις, εκ πρώτης όψεως, συσχετίσεις θα πρέπει να διαθέσουμε λίγο περισσότερο χρόνο. Να ξεκινήσουμε από το σώμα Q[\sqrt{-d}] , ένα σύνολο μιγαδικών αριθμών της μορφής a + b\sqrt{-d}, όπου a, b ρητοί αριθμοί, να εξετάσουμε τις ενδιαφέρουσες ιδιότητες του Q[\sqrt{-d}], όταν το d είναι αριθμός Heegner αφού ορίσουμε τους αλγεβρικούς ακέραιους , το j-αναλλοίωτο και κάποια άλλα βήματα που μπορεί να βρει όποιος ενδιαφέρεται ΕΔΩ: math.ucr.edu ή να παρακολουθήσει το βίντεο που ακολουθεί:



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες:

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: