H στιγμιαία ταχύτητα και η τέχνη του απειροστικού λογισμού

Η τέχνη, είχε πει ο Πάμπλο Πικάσο, είναι ένα ψέμα που μας κάνει να συνειδητοποιούμε την αλήθεια. Το ίδιο θα μπορούσε να ειπωθεί και για τον απειροστικό λογισμό ως μοντέλο της φύσης.

Ο όρος infinitesimal calculus (απειροστικός λογισμός) ή απλά calculus προέρχεται από την λατινική ρίζα calx, που σημαίνει «μικρή πέτρα» και παραπέμπει σε μια παλιά εποχή όταν οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν μικρές πέτρες για να μετρούν και να κάνουν υπολογισμούς. Η ίδια ρίζα δίνει λέξεις όπως calcium (ασβέστιο), chalk (κιμωλία) και caulk (σφραγιστικό υλικό). Ο οδοντογιατρός σας ενδέχεται να χρησιμοποιήσει τη λέξη για να αναφερθεί στην πέτρα που υπάρχει στα δόντια σας, την οποία απομακρύνει όταν πηγαίνετε για καθαρισμό των δοντιών σας. Οι γιατροί χρησιμοποιούν την ίδια λέξη για πέτρες στη χολή, πέτρες στους νεφρούς και πέτρες στην ουροδόχο κύστη. Κατά μια αμείλικτη ειρωνεία της τύχης, τόσο ο Νεύτων όσο και ο Leibniz, οι πρωτοπόροι του απειροστικού λογισμού, πέθαναν ταλαιπωρούμενοι από πέτρες – μια στην ουροδόχο κύστη για τον Νεύτωνα, μια στον νεφρό για τον Leibniz.

Αλλά αντί να λεξικολογούμε, έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον να δούμε γιατί ο απειροστικός λογισμός λειτουργεί όπως η τέχνη. Προς τούτο θα χρησιμοποιηθεί ως παράδειγμα ο ταχύτερος σπρίντερ στον πλανήτη, μέχρι σήμερα – μιας και πλησιάζει η έναρξη του στίβου των ολυμπιακών αγώνων στο Τόκιο.

Το βράδυ της 16ης Αυγούστου 2008, στο Πεκίνο είχε άπνοια. Oι οκτώ γρηγορότεροι άνθρωποι στον κόσμο πήραν θέσεις για τον τελικό του δρόμου των 100 μέτρων των ολυμπιακών αγώνων. Ένας από αυτούς, ήταν ο 21-χρονος σπρίντερ της Τζαμάικα, ο Usain Bolt. Γνωστός περισσότερο ως αθλητής των 200 μέτρων, ικέτευε τον προπονητή του για χρόνια να τον αφήσει να τρέξει και στην κούρσα των 100 μέτρων – όπου είχε σημειώσει μεγάλη πρόοδο.

O τελικός 100 μέτρων στους ολυμπιακούς αγώνες του 2008 (δείτε το βίντεο ΕΔΩ)

Ο Μπολτ εκτινάχθηκε από τον βατήρα, αλλά όχι τόσο εκρηκτικά όσο οι άλλοι αθλητές. Ο βραδύτερος χρόνος αντίδρασής του τον άφησε έβδομο λίγο μετά την εκκίνηση. Αναπτύσσοντας ταχύτητα, στα 30 μέτρα βρέθηκε σε μια ενδιάμεση θέση. Και στη συνέχεια επιταχύνοντας άφησε πίσω του όλους τους υπόλοιπους αθλητές.

Στα 80 μέτρα, κοίταξε προς τα δεξιά του για να δει πού ήταν οι κύριοι ανταγωνιστές του. Όταν συνειδητοποίησε πόσο μπροστά ήταν, επιβράδυνε φανερά, έριξε τα χέρια του στο πλάι και χτύπησε το στήθος καθώς έφτανε στη γραμμή του τερματισμού. Ακόμα και με τον πρόωρο πανηγυρισμό (και ένα λυμένο κορδόνι) πέτυχε ένα νέο παγκόσμιο ρεκόρ 9,69 δευτερολέπτων.

Πόσο γρήγορα έτρεξε; Λοιπόν, τα 100 μέτρα σε 9,69 δευτερόλεπτα μεταφράζονται σε 100/9,69 = 10,32 μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Σε πιο οικείες μονάδες, δηλαδή περίπου 37 χιλιόμετρα ανά ώρα ή 23 μίλια ανά ώρα. Αλλά αυτή ήταν η μέση ταχύτητά του σε όλη την κούρσα. Έτρεξε πιο αργά στην αρχή και στο τέλος – και πιο γρήγορα στο ενδιάμεσο.

Περισσότερες πληροφορίες παίρνουμε από τους επιμέρους χρόνους που καταγράφηκαν για κάθε 10 μέτρα της διαδρομής. Κάλυψε τα πρώτα 10 μέτρα σε 1,83 δευτερόλεπτα, που αντιστοιχεί σε μια μέση ταχύτητα 5,46 μέτρων ανά δευτερόλεπτο. Οι γρηγορότεροι χρόνοι σημειώθηκαν από τα 50 έως 60 μέτρα, από τα 60 έως 70 μέτρα και από τα 70 έως 80 μέτρα. Διάνυσε τα τμήματα αυτά με μέση ταχύτητα 10/0,82=12,2 μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Στα τελευταία 10 μέτρα, όταν σιγουρεύθηκε για την νίκη του, η μέση ταχύτητά του έπεσε στα 11,1 μέτρα ανά δευτερόλεπτο.

Τα ανθρώπινα όντα έχουν εξελιχθεί έτσι ώστε να εντοπίζουν μοτίβα, οπότε αντί να εξετάζουμε αριθμούς όπως μόλις κάναμε, συνήθως είναι πιο κατανοητό όταν τους οπτικοποιούμε. Η γραφική παράσταση που ακολουθεί μας δείχνει την απόσταση (ανά 10 μέτρα) που διάνυσε ο Μπολτ συναρτήσει του χρόνου – μέχρι τα 9,69 δευτερόλεπτα που χρειάστηκε ώστε φτάσει στην γραμμή τερματισμού των 100 μέτρων.

Οι τελείες του διαγράμματος συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα για να καθοδηγείται το μάτι, αλλά να έχετε υπόψιν σας ότι μόνο οι τελείες είναι τα πραγματικά δεδομένα. Μαζί, οι τελείες και τα ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζουν μια πολυγωνική καμπύλη. Οι κλίσεις των τμημάτων είναι πιο μικρές στην αρχή και αντιστοιχούν στην μικρότερη μέση ταχύτητα του Bolt στην έναρξη του αγώνα. Καθώς εξελίσσεται η κούρσα οι κλίσεις γίνονται πιο απότομες προς τα πάνω, που σημαίνει ότι ο Μπολτ επιταχύνεται. Στη συνέχεια σχηματίζουν μια σχεδόν ευθεία γραμμή, υποδηλώνοντας την υψηλή και σταθερή ταχύτητα που διατήρησε στο μεγαλύτερο μέρος του αγώνα.

Είναι φυσικό να αναρωτηθούμε σε ποια χρονική στιγμή και σε ποιό σημείο της διαδρομής ο Μπόλτ έτρεχε με την μεγαλύτερη ταχύτητα. Γνωρίζουμε ότι η μεγαλύτερη μέση ταχύτητά πραγματοποιήθηκε κάπου μεταξύ 50 και 80 μέτρων, αλλά μια μέση ταχύτητα για 10 μέτρα διαδρομής δεν είναι ακριβώς αυτό που θέλουμε. Μας ενδιαφέρει η μέγιστη ταχύτητά του. Φανταστείτε ότι ο Usain Bolt είχε πάνω του ένα ταχύμετρο. Σε ποια χρονική στιγμή θα κατέγραφε την μέγιστη ταχύτητα και ποιά θα ήταν η τιμή της;

Αυτό που ψάχνουμε εδώ είναι ένας τρόπος μέτρησης της στιγμιαίας ταχύτητάς του. Η ιδέα φαίνεται σχεδόν παράδοξη. Σε κάθε χρονική στιγμή, ο Usain Bolt βρίσκονταν σε μια συγκεκριμένη θέση. Ήταν ‘παγωμένος’, όπως σε ένα στιγμιότυπο. Επομένως, τι νόημα θα είχε να μιλάμε για την ταχύτητά του εκείνη την χρονική στιγμή; Η ταχύτητα μπορεί να υπάρχει μόνο για ένα χρονικό διάστημα, όχι για μία μόνο στιγμή.

Το αίνιγμα της στιγμιαίας ταχύτητας φτάνει πολύ πίσω στην ιστορία των μαθηματικών και της φιλοσοφίας, περίπου στο 450 π.Χ. με τον Ζήνωνα και τα φοβερά παράδοξά του. Θυμηθείτε ότι στο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, ο Ζήνων ισχυρίστηκε ότι ένας γρηγορότερος δρομέας δεν θα μπορούσε ποτέ να προσπεράσει έναν πιο αργό δρομέα, παρά τα όσα απέδειξε ο Μπολτ εκείνο το βράδυ στο Πεκίνο. Και στο παράδοξο του βέλους του, ο Ζήνων υποστήριξε ότι ένα βέλος σε πτήση δεν θα μπορούσε ποτέ να κινηθεί. Οι μαθηματικοί εξακολουθούν να προβληματίζονται ακόμα για το τι προσπαθούσε να πει ο Ζήνων με τα παράδοξά του, αλλά υποθέτω ότι οι λεπτές αποχρώσεις που ενυπάρχουν στην έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας προβλημάτιζαν τον Ζήνωνα, τον Αριστοτέλη και άλλους αρχαίους έλληνες φιλοσόφους. Η αμηχανία τους ίσως μπορεί να εξηγήσει γιατί τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά δεν είχαν να πουν πολλά για την κίνηση και την μεταβολή. Όπως το άπειρο, έτσι και αυτά τα δυσάρεστα θέματα είχαν εξοβελιστεί από την ευγενική συζήτηση.

Δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ζήνωνα, οι θεμελιωτές του διαφορικού λογισμού έλυσαν το αίνιγμα της στιγμιαίας ταχύτητας. Η διαισθητική λύση τους ήταν να ορίσουν την στιγμιαία ταχύτητα ως ένα όριο – συγκεκριμένα, το όριο των μέσων ταχυτήτων που προκύπτουν σε συνεχώς μικρότερα χρονικά διαστήματα.

Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης ως προς το χρόνο

Για να πετύχει αυτή η στρατηγική, πρέπει να υποθέσουμε ότι η απόσταση που διήνυσε ο Μπόλτ μεταβαλλόταν με λείο τρόπο. Διαφορετικά, το όριο (δηλ. η παράγωγος) που ψάχνουμε δεν θα υπάρχει. Τα αποτελέσματα δεν θα προσεγγίζουν τίποτα λογικό καθώς τα διαστήματα θα γίνονται μικρότερα. Αλλά η απόστασή μεταβαλλόταν πράγματι ομαλά συναρτήσει του χρόνου; Δεν είμαστε σίγουροι. Τα μόνα δεδομένα που έχουμε είναι τα διακριτά δείγματα των χρόνων του Bolt για κάθε 10 μέτρα της διαδρομής του. Για να εκτιμήσουμε την στιγμιαία ταχύτητά του, πρέπει να πάμε πέρα ​​από τα δεδομένα και να κάνουμε μια εμπεριστατωμένη εικασία για το πού βρισκόταν ο Μπολτ μεταξύ αυτών των σημείων.

Ένας συστηματικός τρόπος για να κάνουμε μια τέτοια εικασία είναι γνωστός ως παρεμβολή. Η ιδέα είναι να σχεδιάσουμε μια ομαλή καμπύλη μεταξύ των διαθέσιμων δεδομένων. Με άλλα λόγια, θέλουμε να συνδέσουμε τις τελείες, όχι με τμήματα ευθείας γραμμής όπως έχουμε ήδη κάνει, αλλά με την πιο πιθανή λεία καμπύλη που περνά από τις τελείες ή τουλάχιστον διέρχεται πολύ κοντά τους. Οι περιορισμοί που επιβάλουμε σε αυτήν την καμπύλη είναι ότι πρέπει να είναι λεία, ‘τεντωμένη’, και να μην κυματίζει πάρα πολύ. Πρέπει να διέρχεται όσο το δυνατόν πιο κοντά σε όλες τις τελείες. Και πρέπει να δείχνει μηδενική την αρχική ταχύτητα του Μπόλτ, αφού γνωρίζουμε ότι ήταν ακίνητος όταν βρισκόταν στην θέση εκκίνησης. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές καμπύλες που πληρούν αυτά τα κριτήρια. Οι μαθηματικοί έχουν επινοήσει μια σειρά τεχνικών για την προσαρμογή των λείων καμπυλών στα δεδομένα. Όλες τους δίνουν παρόμοια αποτελέσματα, και δεδομένου ότι όλες τους περιέχουν έτσι κι αλλιώς ‘λίγη εικασία’, ας μην ασχοληθούμε πολύ με το ποιά από αυτές θα χρησιμοποιήσουμε.

Ιδού ένα παράδειγμα μιας λείας καμπύλης που ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις:

Εφόσον τώρα σχεδιάζεται μια λεία καμπύλη, μπορούμε να υπολογίσουμε την κλίση της (ή την παράγωγο) σε κάθε σημείο της. Η προκύπτουσα γραφική παράσταση μας δίνει μια εκτίμηση της ταχύτητας του Μπολτ σε κάθε χρονική στιγμή της κούρσας εκείνη τη βραδιά στο Πεκίνο.

Η καμπύλη δείχνει ότι ο Μπολτ έφτασε σε μέγιστη ταχύτητα 12,3 μέτρα ανά δευτερόλεπτο (44,3 χιλιόμετρα ανά ώρα), περίπου στα τρία τέταρτα της κούρσας. Μέχρι τότε, επιταχυνόταν, αυξάνοντας την ταχύτητά του σε κάθε χρονική στιγμή. Στην συνέχεια επιβράδυνε, τόσο ώστε η ταχύτητά του μειώθηκε στα 10,1 μέτρα ανά δευτερόλεπτο (36,4 χιλιόμετρα ανά ώρα) όταν πέρναγε την γραμμή τερματισμού. Το γράφημα επιβεβαιώνει αυτό που είδαν όλοι. Ο Μπολτ επιβράδυνε εντυπωσιακά στο τέλος, ειδικά στα τελευταία 20 μέτρα, όταν χαλάρωσε και πανηγύριζε.

Την επόμενη χρονιά, στο παγκόσμιο πρωτάθλημα στίβου στο Βερολίνο, ο Μπολτ έβαλε τέλος στις εικασίες για το πόσο γρήγορα μπορούσε να τρέξει. Κατέρριψε το δικό του παγκόσμιο ρεκόρ των 9,69 δευτερολέπτων με τον ακόμα πιο εντυπωσιακό χρόνο των 9,58 δευτερολέπτων.

Δεδομένου ότι είχαν δημιουργηθεί μεγάλες προσδοκίες για τον συγκεκριμένο αγώνα, χρησιμοποιήθηκαν υψηλής ακρίβειας τηλεβόλα λέιζερ, παρόμοια με τα τηλεβόλα ραντάρ που χρησιμοποιεί η αστυνομία για τον έλεγχο ορίων ταχύτητας. Αυτά τα όργανα υψηλής τεχνολογίας επέτρεψαν στους ερευνητές να μετρήσουν τις θέσεις των δρομέων 100 φορές ανά δευτερόλεπτο. Όταν υπολόγισαν την στιγμιαία ταχύτητα του Bolt, βρήκαν το παρακάτω γράφημα:

Με κόκκινο χρώμα η στιγμιαία ταχύτητα και με μαύρο χρώμα η μέση ταχύτητα

Οι μικρές αυξομειώσεις στη συνολική τάση αντιπροσωπεύουν τα σκαμπανεβάσματα της ταχύτητας που αναπόφευκτα συμβαίνουν κατά τη διάρκεια των διασκελισμών. Το τρέξιμο, σε τελική ανάλυση, είναι μια σειρά από άλματα και προσγειώσεις. Η ταχύτητα του Μπόλτ μειωνόταν όταν προσγείωνε το ένα πόδι στο έδαφος και αμέσως μετά αυξανόταν όταν έδινε ώθηση και εκτινασσόταν πάλι προς τα εμπρός.

Οι μικρές αυτές αυξομειώσεις, όσο ενδιαφέρον κι αν έχουν, είναι εκνευριστικές και ενοχλητικές για κάποιον που επεξεργάζεται δεδομένα. Αυτό που πραγματικά θέλαμε να δούμε ήταν η τάση, όχι οι αυξομειώσεις, και για τον σκοπό αυτό, η προηγούμενη προσέγγιση της προσαρμογής μιας λείας καμπύλης στα δεδομένα ήταν εξίσου καλή και αναμφισβήτητα καλύτερη. Μετά την συλλογή όλων αυτών των δεδομένων υψηλής ανάλυσης και την παρατήρηση των αυξομειώσεων, οι ερευνητές έπρεπε έτσι κι αλλιώς να τις αφαιρέσουν. Τα φιλτράρισαν για να αποκαλύψουν την τάση που ενδιαφέρει περισσότερο.

Για μένα, αυτές οι αυξομειώσεις εμπεριέχουν ένα μεγαλύτερο μάθημα. Τις βλέπω ως μια μεταφορά, ένα είδος διδακτικού μύθου για την φύση της μοντελοποίησης πραγματικών φαινομένων διαμέσου του απειροστικού λογισμού. Αν προσπαθήσουμε να έχουμε υπερβολική ανάλυση στις μετρήσεις μας, αν εξετάσουμε οποιοδήποτε φαινόμενο με εξαιρετικά λεπτή λεπτομέρεια στον χρόνο ή στον χώρο, θα αρχίσουμε να βλέπουμε μια κατάρρευση της λειότητας. Στα δεδομένα της ταχύτητας του Usain Bolt, οι αυξομειώσεις απέδωσαν μια χονδρική λεία τάση. Το ίδιο θα συνέβαινε με οποιαδήποτε μορφή κίνησης αν μπορούσαμε να την μετρήσουμε στη μοριακή κλίμακα. Κάτω από αυτό το επίπεδο, η κίνηση γίνεται ‘σπασμωδική’ και απέχει πολύ από το να είναι λεία. Ο απειροστικός λογισμός δεν θα είχε πλέον να μας πει πολλά, τουλάχιστον όχι άμεσα. Ωστόσο, αν αυτό που μας ενδιαφέρει είναι οι συνολικές τάσεις, η εξομάλυνση των διακυμάνσεων ενδέχεται να είναι αρκετά καλή τεχνική. Η τεράστια διαισθητική αντίληψη που μας έδωσε ο απειροστικός λογισμός σχετικά με τη φύση της κίνησης και των μεταβολών στο σύμπαν είναι μια απόδειξη για την δύναμη της λειότητας, όσο πραγματική κι αν είναι αυτή.

Εδώ υπάρχει ένα τελευταίο μάθημα. Στην μαθηματική μοντελοποίηση, όπως σε όλες τις επιστήμες, πρέπει πάντα να κάνουμε επιλογές σε τι πρέπει να δώσουμε προσοχή και τι να αγνοήσουμε. Ο Γαλιλαίος ανακάλυψε την εξίσωση για την κίνηση μιας μπάλας που ολισθαίνει σε ένα κεκλιμένο επίπεδο, αλλά για να το βρει, έπρεπε να αγνοήσει την τριβή και την αντίσταση του αέρα. Ο Νεύτωνας χρησιμοποίησε τον απειροστικό λογισμό και τους νόμους του περί δυναμικής και βαρύτητας και εξήγησε γιατί οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές γύρω από τον ήλιο, αλλά για να γίνει αυτό έπρεπε να αγνοήσει τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των πλανητών. Η τέχνη της αφαίρεσης έγκειται στο να γνωρίζουμε τι είναι ουσιώδες και τι λεπτομέρεια, τι είναι σήμα και τι είναι θόρυβος, τι είναι τάση και τι διαταραχή. Αποτελεί τέχνη διότι τέτοιες επιλογές περιλαμβάνουν πάντα ένα στοιχείο κινδύνου. Επηρεάζονται από την ασυνείδητη επιθυμία και την πνευματική ανεντιμότητα. Οι σπουδαιότεροι επιστήμονες, όπως ο Γαλιλαίος και ο Νεύτωνας, κατάφεραν κατά κάποιον τρόπο να βαδίσουν στο χείλος αυτού του γκρεμού.

Εν κατακλείδι, μπορούμε να παραφράσουμε τον Πικάσο και να πούμε ότι ‘ο απειροστικός λογισμός είναι ένα ψέμα που μας κάνει να συνειδητοποιούμε την αλήθεια

πηγές: Steven Strogatz, Usain Bolt’s Split Times and the Power of Calculus‘ και ‘Άπειρες δυνάμεις, Πώς ο απειροστικός λογισμός αποκαλύπτει τα μυστικά του Σύμπαντος‘ , εκδόσεις κάτοπτρο



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: