Όμορφα ριζικά

Ισχύει ή όχι η παραπάνω εξίσωση;

Όχι μόνο ισχύει αλλά μπορούμε να κατασκευάσουμε μια άπειρη ακολουθία τέτοιων σχέσεων. Πώς γίνεται αυτό;

Ψάχνουμε θετικούς ακέραιους αριθμούς A>1, B και C, τέτοιους ώστε:

\sqrt{A+\frac{B}{C}} = A \sqrt{\frac{B}{C}}

και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των Β και C να είναι η μονάδα. Υψώνοντας στο τετράγωνο και αναδιατάσσοντας τους όρους έχουμε:

A +  \frac{B}{C} = A^{2} \frac{B}{C} \Leftrightarrow \frac{A}{A^{2}-1}=\frac{B}{C}

Θεωρώντας Α=Β και Α2–1=C, προκύπτει:

\sqrt{A +\frac{A}{A^{2}-1}} = A  \sqrt{ \frac{A}{A^{2}-1}}

Θέτοντας διαδοχικά τις τιμές Α=2, 3, 4, 5, 6… παίρνουμε:

κ.ο.κ.

πηγή: http://www.mathistopheles.co.uk/2015/04/16/699/



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

2 replies

  1. Παρατήρησα ότι ο παρονομαστής του κλάσματος στο πρώτο μέλος βγαίνει αν πολ/σιάσουμε τον ακέραιο με τον αριθμητή και αφαιρέσουμε την μονάδα. Δηλαδή 2×2=4 και 4-1=3, 3×3=9 και 9-1=8, 4×4=6 και 6-1=5 κτλ. Είναι τυχαίο; Ισχύει για όλους τους όρους;

    • Αν παρατηρήσεις τη μορφή των αριθμών της ακολουθίας, στον παρονομαστή έχεις A^2 -1=A*A -1, άρα ναι ισχύει για όλους τους όρους, από την κατασκευή της ακολουθίας!

Γράψτε απάντηση στο Maria Ακύρωση απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: