O κύκλος που σχηματίζουν οι ταχύτητες ενός πλανήτη

Έστω ένας πλανήτης που κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τον ήλιο. Βέβαια, στην πραγματικότητα ο πλανήτης και ο ήλιος περιφέρονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους, αλλά αυτό μπορούμε να το παρακάμψουμε θεωρώντας την ανηγμένη μάζα του συστήματος μ=mΜ/(m+Μ), m η μάζα του πλανήτη, Μ η μάζα του ήλιου, οπότε οι υπολογισμοί γίνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

H δύναμη της παγκόσμιας έλξης παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης και ο πλανήτης εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Η ταχύτητα του πλανήτη αλλάζει συνεχώς κατεύθυνση, αλλά το μέτρο της παραμένει το ίδιο. Αν σχεδιάσουμε όλα τα διανύσματα της ταχύτητας με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουν την ίδια αρχή, τότε τα άκρα τους σχηματίζουν προφανώς την περιφέρεια ενός κύκλου, ακτίνας όσο το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας υ=L/mR (L το μέτρο της στροφορμής, m η μάζα του πλανήτη και R η ακτίνα της κυκλικής του τροχιάς).

Έστω τώρα ότι ο πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά, της οποίας το περιήλιο – η πλησιέστερη απόσταση του πλανήτη από τον ήλιο – είναι R1, ενώ το αφήλιο – η μεγαλύτερη απόσταση από τον ήλιο είναι R2. Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, το μέτρο της ταχύτητας του πλανήτη μεταβάλλεται καθώς κινείται στην ελλειπτική τροχιά του.

Εκτός των αποστάσεων R1 και R2, χρήσιμες αποστάσεις για την μελέτη της κίνησης είναι ο κύριος και ο δευτερεύων ημι-άξονας της έλλειψης, που συμβολίζονται με α και b αντίστοιχα. Πρόκειται για την μεγαλύτερη και την μικρότερη απόσταση της ελλειπτικής καμπύλης από το κέντρο της (αρχή των αξόνων). Ισχύουν οι σχέσεις:  α= (R1 + R2)/2 και b=√(R1R2) (αποδείξτε το).

Πως φαίνονται τα διανύσματα της ταχύτητας από μια τέτοια ελλειπτική τροχιά, όταν τα σχεδιάσουμε, όπως κάναμε στην κυκλική τροχιά. Δηλαδή. με παράλληλη μετατόπιση τα τοποθετήσουμε έτσι ώστε όλα να έχουν κοινή αρχή;

Η στροφορμή του πλανήτη εφόσον η δύναμη της βαρύτητας είναι κεντρική παραμένει σταθερή, και το μέτρο της υπολογίζεται από την σχέση: L=mυRsinθ. όπου θ που σχηματίζει η ταχύτητα με την απόσταση του πλανήτη από τον ήλιο. Όταν όμως το σώμα περνάει από τις θέσεις όπου το διάνυσμα της ταχύτητας είναι κάθετο στον κύριο άξονα της έλλειψης (θ=90ο), τότε στο αφήλιο (R=R1), η ταχύτητα του πλανήτη είναι: v_{1}= \frac{L}{mR_{1}} και στο περιήλιο (R=R2): v_{2}= \frac{L}{mR_{2}} , ενώ για τις δύο θέσεις που το διάνυσμα της ταχύτητας παράλληλο στον κύριο άξονα της έλλειψης (ισχύει πάλι θ=90ο), η ταχύτητα του πλανήτη είναι: v_{||}=\frac{L}{m\sqrt{R_{1}R_{2}}}

Έτσι γι αυτές τις τέσσερις ταχύτητες προκύπτει το παρακάτω σχήμα:

 Παρότι δεν φαίνεται με την πρώτη ματιά οι κορυφές των διανυσμάτων αυτών των ταχυτήτων βρίσκονται στην περιφέρεια ενός κύκλου! H διαφορά με την περίπτωση της κυκλικής τροχιάς του πλανήτη είναι ότι το κέντρο του κύκλου των κορυφών των ταχυτήτων είναι μετατοπισμένο σε σχέση με την κοινή αρχή των διανυσμάτων. Εύκολα μπορεί κανείς να δείξει ότι η ακτίνα αυτού του κύκλου ισούται με \frac{L(R_{1}+R_{2})}{2mR_{1}R_{2}}=\frac{aL}{ mR_{1}R_{2}}  και ότι η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την αρχή των διανυσμάτων είναι: \frac{L(R_{2}-R_{1})}{2mR_{1}R_{2}}= \frac{bL}{ mR_{1}R_{2}}

Άσκηση: Να δείξετε ότι αν σχεδιάσουμε όλα τα διανύσματα των ταχυτήτων της ελλειπτικής τροχιάς έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή (μαζί με τα 4 του παραπάνω σχήματος), τότε οι κορυφές όλων των διανυσμάτων βρίσκονται στον ίδιο κύκλο, με το κέντρο και την ακτίνα που υπολογίστηκαν προηγουμένως. (απάντηση)



Κατηγορίες:ΒΑΡΥΤΗΤΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: