Μια προσέγγιση του μήκους κύματος της ακτινοβολίας Hawking

Ο Hawking συνδυάζοντας την γενική σχετικότητα, την κβαντομηχανική και την θερμοδυναμική απέδειξε ότι μια μαύρη τρύπα εκπέμπει προς όλες τις κατευθύνσεις ένα είδος θερμικής ακτινοβολίας, την επονομαζόμενη ακτινοβολία Hawking. Αυτή η ακτινοβολία έχει το φάσμα ενός μέλανος σώματος του οποίου η απόλυτη θερμοκρασία είναι αυτή που ονομάζουμε θερμοκρασία Hawking ή θερμοκρασία μαύρης τρύπας:

T=\frac{h\,c^{3}}{16 \pi^{2} G\,M_{BH}\,k}  \, \,\, (1)

H παραπάνω εξίσωση περιέχει, εκτός από την μάζα της μαύρης τρύπας, μόνο θεμελιώδεις φυσικές σταθερές: την ταχύτητα του φωτός στο κενό c, την σταθερά του Planck h, την σταθερά της παγκόσμιας έλξης G και την σταθερά του Boltzmann. Παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας είναι αντιστρόφως ανάλογη με την μάζα της – όσο μικραίνει η μάζα της μαύρης τρύπας η θερμοκρασία της αυξάνεται. Το αποτέλεσμα είναι η μάζα να μειώνεται όλο και πιο γρήγορα και η μαύρη τρύπα να εξατμίζεται. Μπορούμε να «αποδείξουμε» την εξίσωση της θερμοκρασίας Hawking με έναν απλούστατο τρόπο που περιγράφeται ΕΔΩ: Η θερμοκρασία Hawking, η αρχή της αβεβαιότητας και οι μαύρες τρύπες. Έτσι, μπορούμε στη συνέχεια να θεωρήσουμε την εξίσωση (1) γνωστή!

Σύμφωνα με τον νόμο μετατόπισης του Wien, το μήκος κύματος «στο οποίο εκπέμπεται η περισσότερη ποσότητα ακτινοβολίας ενός μέλανος σώματος» είναι αντιστρόφως ανάλογο της θερμοκρασίας του σώματος:

\lambda_{max} T = \frac{hc}{5k}

Αντικαθιστώντας την θερμοκρασία από την εξ. (1) προκύπτει (αγονοώντας τις αριθμητικές σταθερές) ότι:

\lambda_{max} \sim GM_{BH}/c^{2}

Aλλά το δεύτερο μέρος της παραπάνω εξίσωσης δεν είναι τίποτε άλλο από την ακτίνα Schwarzschild (R_{S} = GM_{BH}/c^{2}). Υπενθυμίζεται ότι ο ορίζοντας των γεγονότων μιας μαύρης τρύπας είναι μια φανταστική σφαίρα με κέντρο το σημείο της χωροχρονικής ανωμαλίας (σημείο απειρισμού της πυκνότητας). Οτιδήποτε περάσει το σύνορο αυτής της σφαίρας – του ορίζοντα των γεγονότων – είναι καταδικασμένο να καταρρεύσει στην χωροχρονική ανωμαλία και δεν μπορεί πλέον να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της μαύρης τρύπας. Επομένως:

\lambda_{max} \sim R_{S}

Αυτό σημαίνει ότι οι μεγαλύτερης μάζας μαύρες τρύπες εκπέμπουν ακτινοβολία Hawking σε μεγαλύτερα μήκη κύματος και επομένως η θερμοκρασία τους είναι συγκριτικά χαμηλότερη (κάτι που συμφωνεί με το γεγονός ότι THawking∝MΒΗ−1).

διαβάστε τρεις «αντίστροφους» συλλογισμούς ΕΔΩ: «Three easy ways to the Hawking temperature»



Κατηγορίες:ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

Ετικέτες: , ,

1 reply

  1. Θα ήταν ενδιαφέρον να δούμε την καμπύλη κατανομής ακτινοβολιών [f(λ) ] σε μιά μέσου μεγέθους μαύρη τρύπα και να την συγκρίνουμε με αυτή του μέλανος σώματος στην ίδια θερμοκρασία.

Γράψτε απάντηση στο Βασίλης Καραβίτης Ακύρωση απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: