Πού μηδενίζεται το μαγνητικό πεδίο των ρευματοφόρων αγωγών;

Τρεις ευθύγραμμοι παράλληλοι αγωγοί απείρου μήκους διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα ίδιας έντασης Ι. Οι αγωγοί βρίσκονται στις θέσεις x=-1, x=+2, και x=+3 του άξονα χ. Ψάχνουμε να βρούμε σε ποιά σημεία μηδενίζεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργούν οι τρεις αγωγοί. Tα σημεία αυτά (αν υπάρχουν) προφανώς θα βρίσκονται στον άξονα χ

Οι τρεις αγωγοί που βρίσκονται στις θέσεις x=-1, x=+2, και x=+3 του άξονα χ, είναι κάθετοι στο επίπεδο της οθόνης και η φορά των ρευμάτων τους είναι προς τα έξω

Απαντώντας το πρόβλημα κατά τα γνωστά, υποθέτουμε ότι σε κάποια θέση x=; η συνολική ένταση του μαγνητικού πεδίου ισούται με μηδέν. Σημειώνουμε εκεί τις εντάσεις των μαγνητικών πεδίων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού μας:

Θα ισχύει: \vec{B}_{1}+ \vec{B}_{2}+ \vec{B}_{3}=0 \Rightarrow k_{\mu}\frac{2I}{x+1}=  k_{\mu}\frac{2I}{2-x} +   k_{\mu}\frac{2I}{3-x} ή (2-x)(3-x)= (3-x)(x+1)+(2-x)(x+1) και μετά από μερικές πράξεις καταλήγουμε στην δευτεροβάθμια εξίσωση:

3x^{2}-8x+1=0 \, \, \, \, (1)

απ’ όπου προκύπτει ότι στις θέσεις x_{1} \cong 2,53 και x_{2} \cong 0,13, η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν.

Ένα παρατηρητικό μάτι βλέπει την εξής «σύμπτωση»: Θεωρούμε το πολυώνυμο που έχει ρίζες ρ1=-1, ρ2=2, και ρ3=+3 , τις θέσεις στον άξονα χ των τριών ρευματοφόρων αγωγών

P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)= x^{3}-4x^{2}+x+6

Η παράγωγος του πολυωνύμου είναι P'(x)=3x^{2}-8x+1. Τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος του πολυωνύμου η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν! (σύμφωνα με την εξίσωση 1).

Πρόκειται για σατανική σύμπτωση ή το συμπέρασμα ισχύει και γενικότερα;

Τι εννοούμε όταν λέμε γενικότερα;

Αν έχουμε n παράλληλους αγωγούς που διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα Ι, κάθετους στο επίπεδο χψ στις θέσεις x=ρ1 , ρ2 , … , ρn του άξονα χ τότε τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του πολυωνύμου

P(x)=(x-\rho_{1})(x-\rho_{2}) ... (x-\rho_{n})

Kαι πιο γενικότερα: Αν έχουμε n παράλληλους αγωγούς που διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα Ι, κάθετους στο (μιγαδικό) επίπεδο χψ στις θέσεις z=α1 , α2 , … ,αn, τότε τα σημεία του επιπέδου στα οποία η ένταση του μαγνητικού πεδίου ισούται με μηδέν είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του μιγαδικού πολυωνύμου:

P(z)=(z-a_{1})(z-z_{2}) ... (z-a_{n})

(…)

Aς εξετάσουμε ένα σχεδόν ταυτόσημο πρόβλημα. Στην θέση των  n παράλληλων ρευματοφόρων αγωγών τοποθετούμε μονοδιάστατες ευθύγραμμες κατανομές ηλεκτρικού φορτίου (απείρου μήκους) με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ. Στην απλούστερη περίπτωση που είναι κάθετες στο επίπεδο χψ στις θέσεις x=ρ1 , ρ2 , … , ρn του άξονα χ, η συνολική ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν οι κατανομές σε κάποιο σημείο του άξονα χ υπολογίζεται από την σχέση:

\vec{E}= \sum \vec{E}_{i}(x)= \sum \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} (x -\rho_{i}) }\hat{x}

Η μόνη διαφορά με το αντίστοιχο πρόβλημα των ρευματοφόρων αγωγών είναι μια πολλαπλασιαστική σταθερά και το ότι η φορά της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι κάθετη στην ένταση του ηλεκτρικού πεδίου:

\vec{B}= \sum \vec{B}_{i}(x)= \sum \frac{k_{\mu} 2 I}{(x -\rho_{i})} \hat{y}

Επομένως, ότι συμπεράσματα εξάγονται για το ηλεκτρικό πεδίο, «αν στραφούν κατά 90ο πάνω στο επίπεδο χψ», ισχύουν και για το μαγνητικό πεδίο! Μας βολεύει η ανάλυση να γίνει με το ηλεκτρικό πεδίο εξαιτίας της έννοιας του δυναμικού. ΄Έτσι, τo αντίστοιχο δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου στη θέση x υπολογίζεται από την εξίσωση:

V(x)= \sum V_{i}(x)= - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}}  \sum \ln |x -\rho_{i}| +C

όπου C μια αυθαίρετη σταθερά.

Αν πάμε αντίστροφα, μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από την σχέση: \vec{E}=- \nabla V \Rightarrow  \vec{E} = \frac{\partial \sum V_{i}(x)}{\partial x} \hat{x} και συνεχίζοντας με το μέτρο της,

E =  - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\partial}{\partial x}  \sum \ln |x -\rho_{i}| = - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\partial}{\partial x}  \ln  |(x -\rho_{1})(x -\rho_{2}) ...  (x -\rho_{n})| \Rightarrow

E=  - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}}  ( \ln  |P(x)|)' =  - \frac{ \lambda  |P'(x)| }{2 \pi \epsilon_{0} | P(x)|}

Επομένως, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου (άρα και του μαγνητικού πεδίου στο αντίστοιχο πρόβλημα) μηδενίζεται στα σημεία όπου Ρ'(x)=0.

Yπενθυμίζεται ότι το πολυώνυμο P(x)=(x-ρ1)(x-ρ2)…(x-ρn) προκύπτει απλά από τις θέσεις x=ρ1 , ρ2 , … , ρn των κατανομών (ή ρευμάτων) στον άξονα χ. Παρόμοια είναι η ανάλυση όταν οι παράλληλες ευθύγραμμες κατανομές φορτίου (ή οι ρευματοφόροι αγωγοί), είναι κάθετοι σε διάφορα σημεία του επίπεδου χψ.



Κατηγορίες:ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: