Η κατσίκα που βόσκει σε κυκλικό λιβάδι

Έστω ένα περιφραγμένο κυκλικό λιβάδι με εμβαδόν ενός στρέμματος. Mια κατσίκα δεμένη με σχοινί στον φράχτη βόσκει το γρασίδι του λιβαδιού. Ποιο πρέπει να είναι το μήκος του σχοινιού έτσι ώστε η κατσίκα να έχει πρόσβαση στο μισό στρέμμα του λιβαδιού;

Ακούγεται σαν πρόβλημα γυμνασιακής γεωμετρίας αλλά οι μαθηματικοί και οι λάτρεις των μαθηματικών ασχολούνται με το πρόβλημα αυτό πάνω από 270 χρόνια! Μια αρκετά προσεγγιστική λύση που απαιτεί ένα καλό σχήμα είναι να θεωρήσουμε δυο ακραίες περιπτώσεις. Έστω R η γνωστή ακτίνα του κυκλικού λιβαδιού και r το ζητούμενο μήκος του σχοινιού.

Αν r=R (το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο), τότε το εμβαδόν που σαρώνει η κατσίκα είναι λίγο μικρότερο από το μισό στρέμμα. Αν r=R√2 (το αντίστοιχο τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο) τότε το εμβαδόν είναι λίγο μεγαλύτερο από μισό στρέμμα. Επομένως, το μήκος του σχοινιού πρέπει να βρίσκεται κάπου μεταξύ R<r< R√2. Aν θεωρήσουμε τον αρμονικό μέσο των δυο τιμών τότε προκύπτει r≈1,17157R που διαφέρει μόνο κατά 1,1% από την ‘σωστή’ προσέγγιση (r=R.1,15872847).

Μια απάντηση του προβλήματος σε κλειστή μορφή δόθηκε πέρυσι (!) από τον μαθηματικό Ingo Ullisch στην εργασία του με τίτλο «A Closed-Form Solution to the Geometric Goat Problem» . Αλλά αυτά είναι δύσκολα μαθηματικά.

Εύκολα και επιλύσιμα προβλήματα με κατσίκες που βόσκουν σε λιβάδια με διάφορα σχήματα θα βρείτε ΕΔΩ: «How to Solve Equations That Are Stubborn as a Goat» .

πηγή: https://en.wikipedia.org/wiki/Goat_problem#Interior_grazing_problem



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: