Μια οπτική αποδειξη της ανισότητας π^e < e^π

Σε ένα από τα πιο σύντομα άρθρα μαθηματικών (ΕΔΩ) αποδεικνύεται με έναν οπτικό τρόπο ότι

\pi^{e}<e^{\pi}

ως εξής:

Aπό το παραπάνω σχήμα συγκρίνοντας εμβαδά προκύπτει ότι:

\ln \pi - 1= \int_{e}^{\pi} \frac{1}{x} dx < \frac{1}{e}(\pi -e) \Rightarrow \ln \pi <\frac{\pi}{e}  \Rightarrow  \pi^{e}<e^{\pi}

Μια άλλη επίσης οπτική απόδειξη είναι η εξής:

Από το παραπάνω σχήμα προκύπτει ότι:

\ln \frac{\pi}{e} = QR < PR = \frac{\pi}{e}-1 ή

\ln \frac{\pi}{e} < \frac{\pi}{e} -1  \Rightarrow \frac{\pi}{e} < e^{\frac{\pi}{e}-1} \Rightarrow \pi^{e}<e^{\pi}

πηγές: https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00283-018-9816-4https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-018-09867-3



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες:

3 replies

  1. Χρόνια πολλά σε όλη την ομάδα. Παρακαλώ διορθώστε το p σε π, στον τίτλο του άρθρου, για εμάς τους ψυχαναγκαστικούς.
    χαχαχαχαχα!
    Να είστε καλά!

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: