Το επιτάφιο του Stevinus

Στο κεκλιμένο επίπεδο του παρακάτω σχήματος, μια μάζα 1kg συνδέεται διαμέσου αβαρούς νήματος με μια άγνωστη μάζα m. Το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται έχει πλευρές των οποίων τα μήκη είναι ανάλογα με τους αριθμούς 3-4-5. Τριβές δεν υπάρχουν.

Να υπολογίσετε την μάζα m ώστε το σύστημα των δύο μαζών να ισορροπεί χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας.

απάντηση:

Θεωρούμε ότι η μάζα του 1 kg αρχικά βρίσκεται στο κατώτερο σημείο του κεκλιμένου επιπέδου και η άγνωστη μάζα στο ανώτερο σημείο (όπως στο παραπάνω σχήμα), και το σύστημα δεν ισορροπεί. Όταν η μάζα του ενός κιλού διανύσει την υποτείνουσα του τριγώνου, θα έχει ανέβει σε ύψος 3 μέτρων, τότε η άγνωστη μάζα θα έχει πέσει κατά 5 μέτρα και το σύστημα θα έχει αποκτήσει κινητική ενέργεια ίση με την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας: 1∙g∙3 – m∙g∙5. Αν το σύστημα ισορροπούσε, τότε δεν θα μεταβαλλόταν η κινητική του ενέργεια και αυτό συμβαίνει μόνο όταν m=3/5 kg.

Η απόδειξη του Stevinus

Μπορούμε να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας έναν πιο έξυπνο τρόπο που ανακαλύφθηκε από τον Φλαμανδό φυσικό Simon Stevin ή Stevinus (1548–1620) και είναι χαραγμένος στην ταφόπλακά του. Το παρακάτω σχήμα εξηγεί γιατί η μάζα m πρέπει να ισούται με τα 3/5 του κιλού, διότι η αλυσίδα δεν μπορεί να περιστραφεί.

Είναι προφανές ότι το κατώτερο μέρος της αλυσίδας ισορροπεί στην θέση που απεικονίζεται, οπότε η έλξη που ασκούν οι 5 μάζες από την μια μεριά θα πρέπει να εξισορροπείται από την αντίστοιχη έλξη των τριών μαζών από την άλλη. Κοιτάζοντας απλά το σχήμα διαπιστώνουμε ότι m=3/5 kg.

Ας δούμε το ζήτημα λίγο γενικότερα: σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα τυχαίων κλίσεων που αποτελούν τις πλευρές μιας πρισματικής επιφάνειας τοποθετούμε μια αλυσίδα από σημειακές μάζες, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

To ερώτημα που τίθεται είναι: γιατί το σύστημα το σύστημα ισορροπεί; Στην απάντηση που έδωσε ο Stevinus φαντάστηκε μια προέκταση της αλυσίδας που ενώνει τα δυο άκρα όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα:

Τώρα υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

  1. το σύστημα να κινηθεί προς τα αριστερά
  2. το σύστημα να κινηθεί προς τα δεξιά
  3. το σύστημα να παραμείνει ακίνητο

Αλλά οι δυο πρώτες περιπτώσεις απορρίπτονται διότι τότε θα είχαμε κατασκευάσει ένα αεικίνητο. Δείτε μια πολύ όμορφη οπτικοποίηση της λύσης που έδωσε ο Stevinus:

πηγή: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_04.html



Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: