Η σχέση Koide: μια μυστηριώδης εμπειρική εξίσωση

Θεωρούμε την έκφραση: 

Q= \frac{a + b + c}{(\sqrt{a} + \sqrt{b} +\sqrt{c})^{2}} \leq 1

όπου α, b και c τρεις τυχαίοι θετικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι: 

\frac{1}{3} \leq Q \leq 1

Στο τέλος της ανάρτησης υπάρχει μια υπόδειξη … αλλά μέχρι να φτάσουμε εκεί ας δούμε πως η παραπάνω έκφραση σχετίζεται με την φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων.

Η εν λόγω έκφραση παραπέμπει στην εξίσωση του Koide. Πρόκειται για μια εξίσωση που συνδέει τις μάζες των τριών λεπτονίων, ηλεκτρονίου, μιονίου και ταυ. Έτσι, αν θέσουμε α=me = 0.510998946(3) MeV/c2, b=mμ = 105.6583745(24) MeV/c2, και c=mτ = 1776.86(12) MeV/c2) παίρνουμε την, αν μη τι άλλο, εντυπωσιακή τιμή: 

Q=\frac{m_{e} + m_{\mu} + m_{\tau}}{(\sqrt{m_{e}} + \sqrt{m_{\mu}} +\sqrt{m_{tau}})^{2}} =0,666661(7) \cong \frac{2}{3}

Αυτή είναι η σχέση του Koide, μια ανεξήγητη εμπειρική εξίσωση που ανακάλυψε το 1981 ο Yoshio Koide. Παρατηρείστε ότι η τιμή 2/3 είναι ο μέσος όρος των ακραίων τιμών της ποσότητας Q.

Μια γεωμετρική θεώρηση της σχέσης του Koide. Το πηλίκο του αθροίσματος των έγχρωμων εμβαδών προς το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου ισούται με 2/3. Μια διαφορετική γεωμετρική θεώρηση προτείνει ο R. Foot στη δημοσίευση με τίτλο «A note on Koide’s lepton mass relation»

Η μάζα του λεπτονίου τ όταν εμφανίστηκε η μυστηριώδης σχέση Koide είχε αρκετή αβεβαιότητα σε σχέση με τις μάζες ηλεκτρονίου και μιονίου. Οι μετρήσεις της δεκαετίας του 1970 έδιναν την τιμή mτ=1784±4. Υποθέτοντας ότι Q = 2/3 (ακριβώς), η μάζα του ταυ που υπολογιζόταν από τον τύπο Koide, ήταν mτ=1776.97, και η επόμενη ακριβέστερη μέτρηση το 2002 έδωσε την τιμή mτ= 1776.99±.3!  

Η «πρόβλεψη» Koide θα μπορούσε να είναι μια σύμπτωση όπως για παράδειγμα το γεγονός ότι ο λόγος των μαζών πρωτονίου–ηλεκτρονίου ισούται με 6π5. Το 2018 Yoshio Koide στην δημοσίευση με τίτλο «What Physics Does The Charged Lepton Mass Relation Tell Us?» , παραθέτει κάποιες νεότερες σκέψεις για την εξίσωσή του. 

Μια σχετική συζήτηση (που μας θύμισε την εξίσωση του Koide) γίνεται στην τελευταία ανάρτηση του John Carlos Baez ΕΔΩ.

(υπόδειξη για την διπλή ανισότητα: Το πάνω όριο της ανισότητας αποδεικνύεται πολύ εύκολα υψώνοντας στο τετράγωνο. Για την απόδειξη του κάτω ορίου χρησιμοποιείστε την ανισότητα Cauchy–Schwarz)



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

Ετικέτες:

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: