Η ανάσταση του 13ου προβλήματος του Hilbert

Posted on 30/01/2021

0


Στις αρχές του 20ου αιώνα, ο μεγάλος μαθηματικός David Hilbert κατέγραψε 23 άλυτα μέχρι τότε προβλήματα θεωρώντας, πως η επίλυσή τους θα διαμόρφωνε το μέλλον του πεδίου των μαθηματικών. Το 13ο πρόβλημα είναι σχετικό με την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων έβδομου βαθμού.

Οι μαθηματικοί διαθέτουν ήδη σύντομες και αποτελεσματικές συνταγές για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου, τρίτου και τέταρτου βαθμού. Οι τύποι επίλυσής τους – όπως ο γνωστός τύπος για τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x_{1,2}=\frac{ -b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} – περιλαμβάνουν αλγεβρικές πράξεις και ριζικά (π.χ. τετραγωνικές ρίζες). Όσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης της πολυωνυμικής εξίσωσης, τόσο πιο δύσκολη έως αδύνατη είναι η επίλυσή της (για τις 5ου βαθμού και άνω δεν υπάρχει γενικός τύπος εύρεσης ριζών).
Το 13ο πρόβλημα του Hilbert ρωτά αν οι εξισώσεις του έβδομου βαθμού μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας μια σύνθεση προσθέσεων, αφαιρέσεων, πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων συν αλγεβρικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών το πολύ.
Η απάντηση είναι πιθανώς όχι. Αλλά για τον μαθηματικό Benson Farb στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο, το ερώτημα δεν αφορά μόνο την επίλυση μιας πολύπλοκης αλγεβρικής εξίσωσης. Υποστηρίζει πως το 13ο πρόβλημα του Hilbert είναι ένα από τα πιο θεμελιώδη ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά, γιατί οδηγεί σε βαθύτερα ερωτήματα, όπως: πόσο πολύπλοκα είναι τα πολυώνυμα και πώς το μετράμε αυτό; Άλλωστε ένα τεράστιο κομμάτι των σύγχρονων μαθηματικών ανακαλύφθηκε προσπαθώντας να κατανοήσουμε τις ρίζες των πολυωνύμων.

Το πρόβλημα αυτό οδήγησε τον Farb σε μια συνεργασία με τον μαθηματικό Jesse Wolfson στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια και τον αριθμοθεωρητικό Mark Kisin, από το Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ.

Δεν έχουν ακόμη λύσει το 13ο πρόβλημα του Hilbert και μάλλον δεν είναι καν κοντά, παραδέχτηκε ο Farb. Έχουν όμως ανακαλύψει μαθηματικές στρατηγικές που είχαν σχεδόν εξαφανιστεί και έχουν διερευνήσει τις σχέσεις μεταξύ του προβλήματος και μιας ποικιλίας πεδίων, όπως μιγαδική ανάλυση, τοπολογία, θεωρία αριθμών, θεωρία αναπαραστάσεων και αλγεβρική γεωμετρία. Με αυτόν τον τρόπο, έκαναν την δική τους πρόοδο, ειδικά για τη σύνδεση των πολυωνύμων με τη γεωμετρία και την μείωση του πεδίου των πιθανών απαντήσεων στο πρόβλημα του Hilbert. Η εργασία τους προτείνει επίσης έναν τρόπο ταξινόμησης των πολυωνύμων ανάλογο με τις τάξεις πολυπλοκότητας που σχετίζονται με το άλυτο πρόβλημα P vs. NP.

Η λύση του 13ου προβλήματος Hilbert από τον Vladimir Arnold

Ο Vladimir Igorevich Arnold αποφοίτησε το 1959 από την σχολή μηχανικής και μαθηματικών του πανεπιστημίου της Μόσχας. Όμως από το τρίτο έτος των σπουδών του είχε αρχίσει να ασχολείται με το 13ο πρόβλημα του Hilbert, το οποίο ήταν το θέμα της διδακτορικής του διατριβής: Μπορεί η εβδόμου βαθμού εξίσωση x^{7} + a x^{3} + b x^{2}+ c x + 1 =0 να επιλυθεί χωρίς την χρήση συναρτήσεων τριών μεταβλητών; Ο επιβλέπων την διατριβή του Andrey Nikolyevich Kolmogorov είχε αποδείξει ότι για n>3 οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση n μεταβλητών μπορεί να αναπαρασταθεί από μια υπέρθεση συναρτήσεων τριών μεταβλητών και κάποια στιγμή ανακοίνωσε στο σεμινάριο της σχολής ότι ο δεκαεννιάχρονος φοιτητής του είχε ολοκληρώσει την απόδειξη του 13ου προβλήματος του Hilbert. O Arnold απέδειξε ότι οι συναρτήσεις τριών μεταβλητών ανάγονται σε υπερθέσεις συναρτήσεων δύο μεταβλητών και έδωσε καταφατική απάντηση στο πρόβλημα του Hilbert. Παρουσίασε την απόδειξή του σε μια ομιλία δύο ωρών έχοντας μπροστά του ένα έκπληκτο ακροατήριο που δεν ήταν συνηθισμένο να του απευθύνεται ένας τόσο νεαρός ομιλητής. Συνέχισε τις σπουδές του και έλαβε τον τίτλο του διδάκτορα το 1961.
…από την εισαγωγή στην ελληνική έκδοση του βιβλίου του Vladimir Arnold «Η μαθηματική κατανόηση της φύσης»

Πολλοί μαθηματικοί πίστευαν ήδη ότι το 13ο πρόβλημα του Hilbert είχε λυθεί στο παρελθόν. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο Vladimir Arnold και ο μέντορας του Kolmogorov, δημοσίευσαν αποδείξεις για αυτό στα τέλη της δεκαετίας του 1950. Για τους περισσότερους μαθηματικούς, το έργο Arnold-Kolmogorov έλυσε το πρόβλημα. Ακόμη και στην wikipedia, μέχρι πρόσφατα, διάβαζε κανείς ότι η υπόθεση έκλεισε.

Πριν από πέντε χρόνια, ο Farb ανακάλυψε μερικά ενδιαφέροντα σημεία σε ένα δοκίμιο του Arnold, στο οποίο ο διάσημος μαθηματικός περιέγραφε την εργασία και την καριέρα του. Ο Farb ξαφνιάστηκε βλέποντας ότι ο Arnold χαρακτήριζε το 13ο πρόβλημα του Hilbert ανοιχτό και ότι είχε περάσει πραγματικά τέσσερις δεκαετίες προσπαθώντας να λύσει το πρόβλημα που υποτίθεται ότι είχε ήδη κατακτήσει.

Ο λόγος για τη σύγχυση σχετικά με το πρόβλημα έγινε σύντομα ξεκάθαρος: οι Kolmogorov και Arnold είχαν λύσει μόνο μια παραλλαγή του προβλήματος. Η λύση τους περιλάμβανε αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν συνεχείς συναρτήσεις.

Αλλά οι ερευνητές διαφωνούν για το αν ο Hilbert ενδιαφερόταν για αυτήν την προσέγγιση. Πολλοί μαθηματικοί πιστεύουν ότι ο Hilbert εννοούσε αλγεβρικές συναρτήσεις και όχι συνεχείς συναρτήσεις.

Οι ρίζες των πολυωνύμων

Οι μαθηματικοί ψάχνουν τις ρίζες των πολυωνύμων από την εποχή των Βαβυλωνίων. Βρέθηκε σκαλισμένος σε πέτρες που χρονολογούνται πριν από 3000 χρόνια, τρόπος επίλυσης εξισώσεων δευτέρου βαθμού  – ο πρόγονος του γνωστού τύπου, x_{1,2}=\frac{ -b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, που μας λέει πώς να βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης ax^{2} + bx+c=0.

Με την πάροδο του χρόνου, οι μαθηματικοί αναρωτήθηκαν φυσικά αν υπήρχαν τέτοιοι καθαροί τύποι που να δίνουν τις ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού.

Όσο περισσότερο μεγαλώνει ο βαθμός των πολυωνύμων τόσο περισσότερο δυσκολεύουν τα πράγματα. Το 1545 ο Gerolamo Cardano δημοσίευσε στο βιβλίο του Ars Magna, τύπους για την εύρεση των ριζών των εξισώσεων τρίτου και τετάρτου βαθμού. Οι ρίζες ενός κυβικού πολυωνύμου της μορφής ax3+bx2+cx+d=0 μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ο τύπος για πολυώνυμο τετάρτου βαθμού είναι πιο περίπλοκος. Ο Ιταλός μαθηματικός Paolo Ruffini υποστήριξε το 1799 ότι τα πολυώνυμα βαθμού 5 και άνω δεν μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας αριθμητική και ριζικά. Το απέδειξε ο Νορβηγός Niels Henrik Abel το 1824. Με άλλα λόγια, δεν μπορεί να υπάρξει σχετικός τύπος γι αυτά τα πολυώνυμα. Όμως, προέκυψαν και άλλες ιδέες που πρότειναν τρόπους επεξεργασίας πολυωνύμων υψηλότερου βαθμού, τα οποία θα μπορούσαν να απλοποιηθούν μέσω αντικατάστασης. Για παράδειγμα, το 1786, ένας Σουηδός δικηγόρος με την ονομασία Erland Bring έδειξε ότι οποιαδήποτε πολυωνυμική εξίσωση πέμπτου βαθμού της μορφής ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f= 0 θα μπορούσε να επανεξεταστεί ως px5 + qx + 1 = 0 (όπου p και q καθορίζονται από τα a, b, c, d, e και f). Αυτό έδειξε νέους τρόπους προσέγγισης των εγγενών αλλά κρυμμένων χαρακτηριστικών των πολυωνύμων.

Τον 19ο αιώνα, ο William Rowan Hamilton ξεκίνησε από το σημείο που είχαν αφήσει οι Bring και άλλοι. Έδειξε, μεταξύ άλλων, ότι για να βρεθούν οι ρίζες οποιασδήποτε πολυωνυμικής εξίσωσης έκτου βαθμού, χρειάζονται μόνο οι συνήθεις αριθμητικές πράξεις, μερικές τετραγωνικές και κυβικές ρίζες και ένας αλγεβρικός τύπος που εξαρτάται μόνο από δύο παραμέτρους.

Το 1975, ο Αμερικανός αλγεβριστής Richard Brauer στο Χάρβαρντ εισήγαγε την ιδέα του «βαθμού επίλυσης», ο οποίος περιγράφει τον ελάχιστο αριθμό όρων που απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός πολυωνύμου κάποιου βαθμού. (Λιγότερο από ένα χρόνο μετά, ο Arnold και ο Ιάπωνας αριθμοθεωρητικός Goro Shimura εισήγαγαν σχεδόν τον ίδιο ορισμό σε μια άλλη δημοσίευση). Στο πλαίσιο του Brauer το 13ο πρόβλημα του Hilbert μας ρωτά αν είναι δυνατόν τα πολυώνυμα έβδομου βαθμού να έχουν βαθμό επίλυσης μικρότερο από 3. Αργότερα, έκανε παρόμοιες εικασίες για πολυώνυμα έκτου και όγδοου βαθμού.

Αλλά αυτές οι ερωτήσεις επικαλούνται επίσης και μια γενικότερη: Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός παραμέτρων που χρειάζεστε για να βρείτε τις ρίζες οποιουδήποτε πολυωνύμου;

Η οπτικοποίηση του προβλήματος

Ένας φυσικός τρόπος προσέγγισης αυτής της ερώτησης είναι να σκεφτούμε με τι μοιάζουν τα πολυώνυμα. Ένα πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως συνάρτηση — π.χ.  f (x)=x3−3x+1 — και αυτή η συνάρτηση μπορεί να σχεδιαστεί. Στη συνέχεια, για την εύρεση των ριζών αρκεί να βρούμε που τέμνει η γραφική παράστασή της τον άξονα x.

Τα πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού δημιουργούν πιο περίπλοκα σχήματα. Πολυωνυμικές συναρτήσεις τρίτου βαθμού με τρεις μεταβλητές, για παράδειγμα, παράγουν λείες αλλά ‘διπλωμένες’ επιφάνειες εμβαπτισμένες σε τρεις διαστάσεις. Και πάλι, γνωρίζοντας που να ψάξουν σ’ αυτά τα σχήματα, οι μαθηματικοί μπορούν να μάθουν περισσότερα για την υποκείμενη πολυωνυμική τους δομή.

Ως αποτέλεσμα, πολλές προσπάθειες για την κατανόηση των πολυωνύμων δανείζονται από την αλγεβρική γεωμετρία και την τοπολογία, τα μαθηματικά πεδία που εστιάζουν σε αυτό που συμβαίνει όταν τα σχήματα και οι εικόνες προβάλλονται, παραμορφώνονται, συμπιέζονται, τεντώνονται ή αλλιώς μετασχηματίζονται χωρίς να σπάσουν. Ο Henri Poincaré που εφηύρε τον τομέα της τοπολογίας, είχε δηλώσει ότι το έκανε για να κατανοήσει τις αλγεβρικές συναρτήσεις.

Ο ίδιος ο Hilbert ανακάλυψε μια ιδιαίτερα αξιοσημείωτη σύνδεση εφαρμόζοντας γεωμετρία στο πρόβλημα. Μέχρι την δημοσίευση των 23 προβλημάτων του, το 1900, οι μαθηματικοί είχαν μια τεράστια σειρά από μεθόδους για την αναγωγή των πολυωνύμων, χωρίς όμως να σημειώσουν πρόοδο. Ωστόσο, το 1927 ο Hilbert περιέγραψε ένα νέο τέχνασμα. Ξεκίνησε εντοπίζοντας όλους τους πιθανούς τρόπους για να απλοποιήσει τα πολυώνυμα του ενάτου βαθμού και βρήκε μέσα τους μια οικογένεια ειδικών κυβικών επιφανειών.

Ο Hilbert γνώριζε ήδη ότι κάθε λεία κυβική επιφάνεια – ένα περίπλοκο σχήμα που ορίζεται από πολυώνυμα τρίτου βαθμού – περιέχει ακριβώς 27 ευθείες γραμμές, ανεξάρτητα από το πόσο μπερδεμένο εμφανίζεται. (Αυτές οι γραμμές αλλάζουν καθώς αλλάζουν οι συντελεστές των πολυωνύμων). Συνειδητοποίησε ότι αν γνώριζε μία από αυτές τις γραμμές, θα μπορούσε να απλοποιήσει το πολυώνυμο ένατου βαθμού για να βρει τις ρίζες του. Ο τύπος απαιτούσε μόνο τέσσερις παραμέτρους. Με σύγχρονους όρους, αυτό σημαίνει ότι ο βαθμός επίλυσης είναι το πολύ 4.

Σύμφωνα με τον Farb «Η εκπληκτική διορατικότητα του Hilbert ήταν ότι αυτό το θαύμα της γεωμετρίας θα μπορούσε να αξιοποιηθεί για να μειώσει τον [βαθμό επίλυσης] σε 4».

Οι Kisin, Farb και Wolfson συνειδητοποίησαν ότι η γνωστή υπόθεση ότι το 13ο πρόβλημα του Hilbert είχε επιλυθεί είχε ουσιαστικά κλείσει το ενδιαφέρον για μια γεωμετρική προσέγγιση του βαθμού επίλυσης. Τον Ιανουάριο του 2020, ο Wolfson δημοσίευσε μια εργασία όπου αναβιώνει την ιδέα επεκτείνοντας τη γεωμετρική εργασία του Hilbert για τα πολυώνυμα του ένατου βαθμού σε μια πιο γενική θεωρία.

Ο Hilbert είχε επικεντρωθεί σε κυβικές επιφάνειες για την επίλυση πολυωνύμων ένατου βαθμού με μία μεταβλητή. Τι γίνεται όμως με τα πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού; Για να λυθούν αυτά με παρόμοιο τρόπο, σκέφτηκε ο Wolfson, θα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε αυτή την κυβική επιφάνεια με κάποια «υπερ-επιφάνεια» υψηλότερης διάστασης, που σχηματίζεται από αυτά τα πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού με πολλές μεταβλητές. Η γεωμετρία αυτών των επιφανειών είναι λιγότερο κατανοητή, αλλά τις τελευταίες δεκαετίες οι μαθηματικοί κατάφεραν να αποδείξουν ότι σε ορισμένες περιπτώσεις οι υπερ-επιφάνειες διαθέτουν πάντα γραμμές.

Κάθε λεία κυβική επιφάνεια, ανεξάρτητα από την περιπλοκότητά της, περιέχει ακριβώς 27 ευθείες γραμμές. Ο Hilbert χρησιμοποίησε αυτό το γεωμετρικό δεδομένο για να κατασκευάσει έναν τύπο για τις ρίζες ενός πολυωνύμου ένατου βαθμού. Ο Jesse Wolfson έχει προχώρησε αυτή την ιδέα περαιτέρω, χρησιμοποιώντας γραμμές σε υψηλοτέρων διαστάσεων ‘υπερ-επιφάνειες’ ώστε να δημιουργήσει τύπους για περιπλοκότερα πολυώνυμα.

Η ιδέα του Hilbert να χρησιμοποιήσει μια γραμμή σε κυβική επιφάνεια για την επίλυση ενός πολυωνύμου ένατου βαθμού μπορεί να επεκταθεί σε γραμμές υπερ-επιφανειών υψηλότερων διαστάσεων. Ο Wolfson χρησιμοποίησε αυτήν τη μέθοδο για να βρει νέους, απλούστερους τύπους για πολυώνυμα συγκεκριμένων βαθμών. Αυτό σημαίνει ότι ακόμη και αν δεν μπορείτε να το οπτικοποιήσετε, μπορείτε να λύσετε ένα πολυωνύμιο 100στού βαθμού βρίσκοντας «απλά» ένα επίπεδο σε μια πολυδιάστατη κυβική υπερεπιφάνεια (47 διαστάσεις, σε αυτή την περίπτωση).

Με αυτή τη νέα μέθοδο, ο Wolfson επιβεβαίωσε την τιμή του Hilbert για τον βαθμό επίλυσης για πολυώνυμα 9ου βαθμού. Και για άλλους βαθμούς πολυωνύμων – ειδικά εκείνων άνω του 9ου βαθμού – η μέθοδός του περιορίζει τις πιθανές τιμές του βαθμού επίλυσης.

Έτσι, δεν πρόκειται για μια απευθείας επίθεση στο 13ο πρόβλημα του Hilbert, αλλά γενικά σε πολυώνυμα. «Βρήκαν κάποιες παράπλευρες ερωτήσεις και σημείωσαν πρόοδο σε αυτές, κάποιες από αυτές αναπάντητες μέχρι σήμερα, με την ελπίδα ότι θα ρίξουν φως στο αρχικό πρόβλημα. Και η δουλειά τους δείχνει νέους τρόπους σκέψης για αυτές τις μαθηματικές κατασκευές.

Αυτή η γενική θεωρία του βαθμού επίλυσης δείχνει επίσης ότι οι εικασίες του Hilbert για εξισώσεις έκτου, έβδομου και όγδοου βαθμού ισοδυναμούν με προβλήματα σε άλλους, φαινομενικά άσχετους τομείς μαθηματικών. Ο βαθμός επίλυσης, σύμφωνα με τον Farb, προσφέρει έναν τρόπο κατηγοριοποίησης αυτών των προβλημάτων με ένα είδος αλγεβρικής πολυπλοκότητας.

Παρόλο που η θεωρία ξεκίνησε με το 13ο πρόβλημα του Hilbert, ωστόσο, οι μαθηματικοί είναι επιφυλακτικοί στο ότι μπορεί να λύσει το ανοιχτό πρόβλημα σχετικά με τα πολυώνυμα του έβδομου βαθμού. Η στασιμότητα – παρά τα σημάδια προόδου – είναι από μόνη της ενδιαφέρουσα, καθώς δείχνει ότι στο πρόβλημα κρύβονται μυστικά που απλά δεν μπορούν να κατανοήσουν τα σύγχρονα μαθηματικά. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κάποια σκοτεινή περιοχή στην οποία δεν έχουμε εισέλθει. Η επίλυση θα απαιτούσε εντελώς νέες ιδέες και δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζουμε από πού θα προέλθουν.

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο του Stephen Ornes με τίτλο: ‘Mathematicians Resurrect Hilbert’s 13th Problem

Ετικέτα: