Η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς απείρου μήκους

… ισούται με 84 min (περίπου)

Θεωρούμε ένα τερατώδες εκκρεμές πολύ μεγάλου μήκους \ell \gg R (R=η ακτίνα της Γης) το οποίο εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους, υπό την επίδραση του σταθερού πεδίου βαρύτητας g στην επιφάνεια της Γης. Nα υπολογιστεί η περίοδος του εκκρεμούς.  Δίνονται η ακτίνα της Γης R≈6400 km και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g≈10m/s2

Λύση:
Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ως προς το σημείο ανάρτησης του νήματος δίνει: \tau=I a_{\gamma} ή -mgd=m \ell^{2} a_{\gamma} ή mg \ell \sin(\theta +\phi)+m \ell^{2} d^{2}\theta/dt^{2}=0. Οι ταλαντώσεις θεωρούνται πολύ μικρές οπότε: \sin(\theta+\phi) \cong \theta + \phi και R \phi \cong \ell \theta , οπότε:

\theta''(t) +\frac{g}{\ell}(1+\ell /R)\theta(t)=0

H περίοδος θα είναι: T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g(1+\frac{\ell}{R})}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{g(\frac{1}{\ell}+\frac{1}{R})}}. Και εφόσον \ell \gg R προκύπτει T \cong 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}. Αντικαθιστώντας διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αυτού του φανταστικού εκκρεμούς ισούται περίπου με 84 min.
(Παρατηρείστε ότι το αποτέλεσμα είναι πανομοιότυπο με το αποτέλεσμα του προβλήματος: «Περίπου 17 φορές την ημέρα» )

πηγή:



Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: ,

1 reply

  1. Καλημέρες στην πολύ ωραία σελίδα σας και στους συνεργάτες της.
    Μια παρατήρηση …γλωσσο-φυσικού περιεχομένου.
    Σε άλλη σελίδα, μόνο γλωσσικού περιεχομένου, ειπώθηκε πως το «βραχιστόχρονο» πρέπει να το γράφουμε με «ι» αντί για «υ».

    Καλή χρονιά.

Γράψτε απάντηση στο dimosioshoros Ακύρωση απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: