Η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς απείρου μήκους

… ισούται με 84 min (περίπου)

Θεωρούμε ένα τερατώδες εκκρεμές πολύ μεγάλου μήκους \ell \gg R (R=η ακτίνα της Γης) το οποίο εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους, υπό την επίδραση του σταθερού πεδίου βαρύτητας g στην επιφάνεια της Γης. Nα υπολογιστεί η περίοδος του εκκρεμούς.  Δίνονται η ακτίνα της Γης R≈6400 km και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g≈10m/s2

Λύση:
Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ως προς το σημείο ανάρτησης του νήματος δίνει: \tau=I a_{\gamma} ή -mgd=m \ell^{2} a_{\gamma} ή mg \ell \sin(\theta +\phi)+m \ell^{2} d^{2}\theta/dt^{2}=0. Οι ταλαντώσεις θεωρούνται πολύ μικρές οπότε: \sin(\theta+\phi) \cong \theta + \phi και R \phi \cong \ell \theta , οπότε:

\theta''(t) +\frac{g}{\ell}(1+\ell /R)\theta(t)=0

H περίοδος θα είναι: T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g(1+\frac{\ell}{R})}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{g(\frac{1}{\ell}+\frac{1}{R})}}. Και εφόσον \ell \gg R προκύπτει T \cong 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}. Αντικαθιστώντας διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αυτού του φανταστικού εκκρεμούς ισούται περίπου με 84 min.
(Παρατηρείστε ότι το αποτέλεσμα είναι πανομοιότυπο με το αποτέλεσμα του προβλήματος: «Περίπου 17 φορές την ημέρα» )

πηγή:



Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: ,

1 reply

  1. Καλημέρες στην πολύ ωραία σελίδα σας και στους συνεργάτες της.
    Μια παρατήρηση …γλωσσο-φυσικού περιεχομένου.
    Σε άλλη σελίδα, μόνο γλωσσικού περιεχομένου, ειπώθηκε πως το «βραχιστόχρονο» πρέπει να το γράφουμε με «ι» αντί για «υ».

    Καλή χρονιά.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: