Η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς απείρου μήκους

Posted on 26/12/2020

1


… ισούται με 84 min (περίπου)

Θεωρούμε ένα τερατώδες εκκρεμές πολύ μεγάλου μήκους \ell \gg R (R=η ακτίνα της Γης) το οποίο εκτελεί ταλαντώσεις μικρού πλάτους, υπό την επίδραση του σταθερού πεδίου βαρύτητας g στην επιφάνεια της Γης. Nα υπολογιστεί η περίοδος του εκκρεμούς.  Δίνονται η ακτίνα της Γης R≈6400 km και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g≈10m/s2

Λύση:
Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ως προς το σημείο ανάρτησης του νήματος δίνει: \tau=I a_{\gamma} ή -mgd=m \ell^{2} a_{\gamma} ή mg \ell \sin(\theta +\phi)+m \ell^{2} d^{2}\theta/dt^{2}=0. Οι ταλαντώσεις θεωρούνται πολύ μικρές οπότε: \sin(\theta+\phi) \cong \theta + \phi και R \phi \cong \ell \theta , οπότε:

\theta''(t) +\frac{g}{\ell}(1+\ell /R)\theta(t)=0

H περίοδος θα είναι: T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g(1+\frac{\ell}{R})}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{g(\frac{1}{\ell}+\frac{1}{R})}}. Και εφόσον \ell \gg R προκύπτει T \cong 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}. Αντικαθιστώντας διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αυτού του φανταστικού εκκρεμούς ισούται περίπου με 84 min.
(Παρατηρείστε ότι το αποτέλεσμα είναι πανομοιότυπο με το αποτέλεσμα του προβλήματος: «Περίπου 17 φορές την ημέρα» )

πηγή: