Το πρόβλημα της βραχυστόχρονης τροχιάς και η διάθλαση του φωτός

Posted on 25/12/2020

0


Μια σημαντική στιγμή στην εξέλιξη των μαθηματικών και της φυσικής ήταν η διατύπωση του προβλήματος της βραχυστόχρονης καμπύλης. Τέθηκε από τον Γαλιλαίο και απαντήθηκε για πρώτη φορά το 1696 από τον Johann Bernoulli: «Έστω δυο δεδομένα σημεία Α και Γ σε ένα κατακόρυφο επίπεδο. Να προσδιοριστεί η καμπύλη που πρέπει να διαγράψει μια σημειακή μάζα υπό την επίδραση της βαρύτητας, έτσι ώστε ξεκινώντας από το Α, χωρίς αρχική ταχύτητα, να φτάσει χωρίς τριβές στο Γ στον ελάχιστο χρόνο»

O Johann Bernoulli βρήκε μια ευφυέστατη λύση διαμέσου ενός νόμου της οπτικής. Χρησιμοποίησε την αρχή του Fermat: όταν το φως κινείται μεταξύ δυο σημείων διασχίζει τη διαδρομή που απαιτεί το ελάχιστο χρονικό διάστημα. Πρόκειται για την πρώτη εφαρμογή κυματο-μηχανικής αναλογίας.

Ο νόμος της διάθλασης του φωτός

Η αρχή του Pierre de Fermat χρησιμοποιήθηκε για να αποδειχθεί θεωρητικά ο νόμος της διάθλασης του φωτός ή νόμος του Snell (ή του René Descartes αν είστε γαλλόφιλοι): \frac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} , όπου \theta_{1} και  \theta_{2}, οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης, και v_{1} και  v_{2} οι ταχύτητες διάδοσης του φωτός στα μέσα (1) και (2), αντίστοιχα. Επίσης, εννοείται πως σε κάθε ομογενές διαφανές μέσο το φως διαδίδεται ευθύγραμμα.

Ο Descartes ήταν σύγχρονος του Fermat και η απόδειξη του νόμου της διάθλασης ήταν μια από τις διαφωνίες τους. Έχει ενδιαφέρον η λάθος απόδειξη που υποστήριζε ο Descartes (και ο Νεύτωνας). Θεωρώντας το φως ως σωματίδια που διέρχονται από το μέσο 1 στο μέσο 2, χρησιμοποίησε την παραδοχή ότι κατά διέλευση του φωτός από την διαχωριστική γραμμή των δύο μέσων μεταβάλλεται μόνο η κάθετη σ’ αυτή συνιστώσα της ταχύτητας. Η παράλληλη με την διαχωριστική επιφάνεια παραμένει σταθερή οπότε: v_{1}\sin\theta_{1}=v_{2} \sin\theta_{2} ή \frac{\sin \theta_{2}}{\sin \theta_{1}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}. Mα θα πει κάποιος αυτή η εξίσωση δεν είναι ίδια με την παραπάνω εξίσωση της διάθλασης. Δίνει το λανθασμένο αποτέλεσμα, ότι η ταχύτητα διάδοσης του φωτός σε οπτικά πυκνότερα μέσα είναι μεγαλύτερη σε σχέση με αυτή των αραιότερων. Παρ’ όλα αυτά, αν ‘δεχθούμε’ ότι το φως διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα στα οπτικά πυκνότερα μέσα, όπως λανθασμένα έκανε ο Καρτέσιος, δεν αλλάζει τίποτε στα συμπεράσματα των εφαρμογών του 17ου αιώνα, όπως η ‘καρτεσιανή’ θεωρία για το ουράνιο τόξο. 

Το φως διανύει την διαδρομή Α→Β→Γ σε χρονικό διάστημα:
t(x)=\frac{AB}{v_{1}}+\frac{B\Gamma}{v_{2}}=\frac{\sqrt{x^{2}+H_{1}^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{(s-x)^{2}+H_{2}^{2}}}{v_{1}}Σύμφωνα με την αρχή του Fermat, ο χρόνος αυτός πρέπει να είναι ελάχιστος, οπότε:
t'(x)=0 ή \frac{x}{v_{1}\sqrt{H_{1}^{2}+x^{2}}}-\frac{s-x}{c_{2}\sqrt{H_{2}+(s-x)^{2}}}=0 ή \frac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} . Εύκολα διαπιστώνεται ότι ισχύει επίσης και t''(x)>0, κάτι που εξασφαλίζει ότι η διαδρομή για την οποία ισχύει \frac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} διανύεται στον ελάχιστο χρόνο.

Aν ο νόμος αυτός εφαρμοστεί διαδοχικά σε περισσότερες από μια παράλληλες  διαχωριστικές επιφάνειες οπτικών μέσων προκύπτει: \frac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}=\frac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}=\frac{\sin\theta_{3}}{v_{3}}=\cdots =\frac{\sin\theta_{n}}{v_{n}}=C, όπου η σταθερά C καθορίζεται από την αρχική γωνία πρόσπτωσης και την ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο πρώτο μέσο.
Αν τώρα θεωρήσουμε ότι τα διάφορά πάχη των οπτικών μέσων τείνουν στο μηδέν, τότε σε ένα τυχαίο σημείο Κ του οπτικού μέσου (μεταβλητού δείκτη διάθλασης) θα ισχύει: \frac{\sin\theta}{v}=C , όπου v η (στιγμιαία) ταχύτητα του φωτός στο σημείο Κ:
Η καμπύλη που θα διανύσει το φως στο οπτικό θα είναι η διαδρομή ελαχίστου χρόνου μετάβασης από το σημείο Α στο σημείο Γ.

Από την διάθλαση του φωτός στην βραχυστόχρονη καμπύλη της μηχανικής

Το τελευταίο συμπέρασμα σχετικά με το φως ενέπνευσε τον Johann Bernoulli ώστε να λύσει το μηχανικό πρόβλημα της βραχυστόχρονης καμπύλης. Έστω ότι ένα υλικό σωματίδιο μεταβαίνει χωρίς τριβές από το σημείο Α στο σημείο Γ υπό την επίδραση της βαρύτητας. Στο τυχαίο σημείο Κ θα έχει ταχύτητα v=\sqrt{2g\,y}. Aν η τροχιά y=y(x)που διαγράφει είναι η αυτή για την οποία χρειάζεται τον ελάχιστο χρόνο για να πάει από το Α στο Γ, τότε κατ’ αναλογία με την διάθλαση του φωτός θα ισχύει στο σημείο Κ: \frac{\sin\theta}{\sqrt{2g\,y(x)}}=C ή \sin\theta=C\sqrt{2g\,y(x)}. Όμως,
\sin\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta_{1})=\cos\theta_{1}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta_{1}}}=\frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}(x)}}, όπου \tan\theta_{1}=y'(x),
οπότε \frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}(x)}}=C\sqrt{2g\,y(x)}
κι έτσι προέκυψε η διαφορική εξίσωση που υπολογίζει την μορφή της βραχυστόχρονης καμπύλης – που δεν είναι άλλη από την περίφημη κυκλοειδή καμπύλη.

Έχοντας στο μυαλό μας τα παραπάνω ο συσχετισμός της «ολίσθησης σε κεκλιμένα επίπεδα με το νόμο του Snell» που συναντήσαμε ΕΔΩ φαίνεται απόλυτα φυσιολογικός.