Σχετικά με την επίπεδη κίνηση των στερεών σωμάτων

Posted on 06/12/2020

0


Μια ράβδος μάζας m και μήκους \ell μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο’, ενώ στο άλλο άκρο της Ο συνδέεται ένας δίσκος μάζας M και ακτίνας R, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Θα διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:
(i) ο δίσκος είναι καρφωμένος στην ράβδο έτσι ώστε το κέντρο του να ταυτίζεται με το άκρο Ο της ράβδου και (ii) ο δίσκος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το Ο.

Kαι στις δυο περιπτώσεις απομακρύνουμε το σύστημα από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας του, έτσι ώστε η ράβδος να σχηματίζει μια μικρή αρχική γωνία \theta_{0} με την κατακόρυφη διεύθυνση (μικρή με την έννοια ότι sin\theta_{0} \sim \theta_{0}). Αφήνουμε το σύστημα να ταλαντωθεί ελεύθερα.
Να υπολογίσετε το λόγο των περιόδων ταλάντωσης \frac{T_{i}}{T_{ii}} των περιπτώσεων (i) και (ii).

(a) Εκκρεμές που αποτελείται από έναν δίσκο και μια ράβδο (b) Οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στο άκαμπτο σύστημα ράβδου-δίσκου (ο δίσκος είναι πακτωμένος με τη ράβδο). Στα (c) και (d) βλέπουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στον δίσκο και τη ράβδο αντίστοιχα. Η αλληλεπίδραση μεταξύ ράβδου και δίσκου παριστάνεται με την δύναμη Ν και την ροπή τ.

Μπορούμε να ακολουθήσουμε μια συλλογιστική παρόμοια με το πρόβλημα της περιόδου του κατεψυγμένου εκκρεμούς(ΕΔΩ) και να καταλήξουμε για την κάθε περίπτωση στις εξισώσεις: \omega^{2}_{i}=\frac{g}{\ell}\frac{\frac{m}{2}+M}{\frac{m}{3}+M+\frac{MR^{2}}{2\ell^{2}}} και \omega^{2}_{ii}=\frac{g}{\ell}\frac{\frac{m}{2}+M}{\frac{m}{3}+M}, απ’ όπου: \frac{T_{i}}{T_{ii}}=\sqrt{1+\frac{R^{2}}{\ell^{2}}\frac{M}{\frac{m}{3}+M}}

αναλυτικότεροι υπολογισμοί σχετικοί με το παραπάνω πρόβλημα περιέχονται στο άρθρο με τίτλο: «About the Teaching of Plane Motion of Rigid Bodies» :

Click to access 2011.03355.pdf