Πόσο δίκαια μπορείτε να κόψετε ένα καρπούζι;

Posted on 09/09/2020

1


Πώς διαμέσου των μαθηματικών κόβουμε ένα καρπούζι σε φέτες ίσων όγκων

Ένα καρπούζι σχήματος (σφαιροειδούς) ελλειψοειδούς

Το σχήμα ενός καρπουζιού είναι ελλειψοειδές, η πιο ακριβέστερα, ένα σφαιροειδές με δυο ίσους ημιάξονες. Ο συνολικός όγκος ενός σφαιροειδούς καρπουζιού είναι  Vtot = 4πb2α/3, όπου α το μήκος του κύριου ημιάξονα (α>b). Το να κόψει κανείς ένα καρπούζι σε 2 ή 4 μέρη είναι πολύ εύκολο λόγω συμμετρίας.

Πώς συνεχίζουμε όταν θέλουμε περισσότερα κομμάτια; Σίγουρα δεν είναι εύκολο να κόψουμε ίσες φέτες όπως βλέπουμε στο σχήμα 2(α).

σχήμα 2

Μια εύλογη εναλλακτική είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 2(b). Αλλά αν τα κομμάτια έχουν το ίδιο πλάτος, τότε δεν θα έχουν τον ίδιο όγκο. Αν θέλουμε να έχουν τον ίδιο όγκο, τα εν λόγω πλάτη πρέπει να είναι διαφορετικά.  Κι αυτό είναι το μαθηματικό πρόβλημα που θέτουν οι Timoteo Carletti, Duccio Fanelli και Alessio Guarino:
Θέλουμε να κόψουμε n φέτες με ίσους όγκους (V1=V2=V3=V4=…) , όπως βλέπουμε στο σχήμα 2(c). Να προσδιοριστούν οι συντελεστές λi  όπου λ1∙α+λ2∙α+λ3∙α+λ4∙α+…=α.

Οι  Carletti et al, υποστηρίζουν ότι μια καλή προσέγγιση είναι «ο κανόνας 2/3», σύμφωνα με τον οποία οι συντελεστές λi προσεγγίζονται από την σχέση:

α∙λπροσ.=α∙2/3∙i/n, όπου n o αριθμός των κομματιών και i=1,2, 3, …, (n-1)

Έτσι, αν θέλουμε δυο ίσα κομμάτια τότε α∙λπρ=α∙2/3∙1/2=α/3. Tότε προκύπτουν δυο σχεδόν ίσοι όγκοι με ακρίβεια, περίπου 4%.

Αν θέλουμε τρία ίσα κομμάτια τότε για το πλάτος της πρώτης φέτας πρέπει α∙λ(1)πρ=α∙2/3∙1/3=2α/9, όπου η διαφορά από το ακριβές ένα τρίτο του κομματιού είναι μόνο 1,6%. Για το πλάτος του δεύτερου ισχύει  α∙λ(2)πρ=α∙2/3∙2/3=4α/9, αλλά οι όγκοι των δύο κομματιών που προκύπτουν διαφέρουν μεταξύ τους κατά 14%.

Συνεχίζοντας την ίδια προσέγγιση για μεγαλύτερο κομματιών μπορεί το σφάλμα να αυξάνεται, αλλά συνήθως δεν γίνεται αντιληπτό από τους καρπουζοφάγους.

Αν ενδιαφέρεστε για όλες τις λεπτομέρειες σχετικά με το τίμιο μοίρασμα ενός καρπουζιού μπορείτε να τις βρείτε ΕΔΩ: «How to fairly share a watermelon» :

Click to access 2009.02325.pdf