Στιγμιαία ταχύτητα και απειροστικός λογισμός

Posted on 18/08/2020

0


Ο απειροστικός λογισμός επικεντρώνεται, σε μεγάλο βαθμό, στους στιγμιαίους ρυθμούς μεταβολής. Επειδή η έννοια αυτή είναι κάπως αφηρημένη, ας δούμε ένα παράδειγμα από την καθημερινή ζωή: Φανταστείτε ότι έχετε αργήσει για μια σύσκεψη και τρέχετε βολίδα στον αυτοκινητόδρομο, δίνοντας ελάχιστη σημασία στο όριο ταχύτητας. Ξαφνικά διακρίνετε στο βάθος έναν αστυνομικό με ραντάρ χειρός, οπότε πατάτε με μιας φρένο, ακριβώς πριν ο αστυνομικός στρέψει το ραντάρ προς το μέρος σας. Ποια είναι η ταχύτητά σας τη στιγμή που την καταγράφει το ραντάρ;

Το ερώτημα είναι πιο πολύπλοκο από όσο δείχνει αρχικά. Κατ’ αρχήν, αφορά την ποσοτικοποίηση του ρυθμού μεταβολής (εν προκειμένω, αυτό που μεταβάλλεται είναι η θέση του αυτοκινήτου σας) σε μια συγκεκριμένη χρονική. Αλλά αποδεικνύεται απροσδόκητα δύσκολο να ορίσουμε τι ακριβώς σημαίνει «χρονική στιγμή». Μοιάζει φυσικό να θεωρήσουμε ότι μια χρονική στιγμή είναι ανάλογη ενός σημείου στην ευθεία των αριθμών. Κάτι τέτοιο, όμως, οδηγεί σε προβλήματα. Λόγου χάριν, τα πράγματα σκουραίνουν όταν επιχειρούμε να απαντήσουμε στο εξής ερώτημα: Είναι δυνατόν μια χρονική στιγμή, ας τη συμβολίσουμε ως t2, να ακολουθεί αμέσως μια άλλη χρονική στιγμή, την t1;

H απάντηση σίγουρα πρέπει να είναι θετική. Αν δεν ήταν, τότε πως θα κυλούσε ο χρόνος; Αλλά σκεφτείτε το εξής: Μπορούμε κάλλιστα να καθορίσουμε μια χρονική στιγμή ανάμεσα στις 13:01 και 13:02, διαλέγοντας απλώς την ενδιάμεση στιγμή: 13:01:30. Kατά παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να καθορίσουμε το μεσοδιάστημα ανάμεσα σε οποιεσδήποτε χρονικές στιγμές t1 και t2, ακόμη κι αν απέχουν μεταξύ τους μόλις ένα παλαβομμυριοστό του δευτερολέπτου. Αυτό σημαίνει ότι δεν υφίστανται επακριβώς διαδοχικές χρονικές στιγμές. Κοντολογίς, υπάρχει ένα παράδοξο που κρύβεται μέσα στη διαισθητική μας αντίληψη για τον χρόνο.

Η ρίζα του προβλήματος έγκειται στο ότι όταν χρησιμοποιούμε όρους όπως «χρονική στιγμή» ακροβατούμε στις παρυφές του παράξενου βασιλείου του απείρου – στη διαισθητική αντίληψη τέτοιων όρων υπεισέρχεται η ιδέα μιας απείρως μικρής μετακίνησης του δευτερολεπτοδείκτη του ρολογιού.(…)

(…)Ο απειροστικός λογισμός θα μπορούσε να περιγραφεί ως ένα σύνολο πολύ έξυπνων τεχνασμάτων που μας επιτρέπουν να αντιπαρερχόμαστε το άπειρο και το απείρως μικρό σαν να μη δημιουργούσαν προβλήματα πιο περίπλοκα απ’ ό,τι η απλή αριθμητική. Δεν θα υπεισέλθω στις λεπτομέρειες των τεχνασμάτων – η περιήγησή μας γίνεται από πολύ μεγάλο ύψος, και, στο κάτω-κάτω, αν ενδιαφέρεστε για περισσότερες λεπτομέρειες, υπάρχουν πολλά καλά εγχειρίδια απειροστικού λογισμού και πληθώρα καλών διαδικτυακών εισαγωγών για τις βασικές αρχές του. Αλλά, έτσι για ψυχαγωγία, ας ρίξουμε μια πιο κοντινή ματιά στο είδος των προβλημάτων που για την επίλυσή τους επινοήθηκε ο απειροστικός λογισμός.

Πιάνοντας το νήμα της ιστορίας από εκεί που το αφήσαμε, φανταστείτε ότι μόλις σταματήσετε το αυτοκίνητό σας στην άκρη του δρόμου, ύστερα από υπόδειξη του αστυνομικού με το ραντάρ χειρός. «Μα κύριε αστυνομικέ» (φυσικά θα μπορούσε να είναι και αστυνομικίνα, αλλά θα χρησιμοποιήσω αρσενικό γένος για να κάνω οικονομία στα γράμματα), διαμαρτύρεστε όταν εκείνος έρχεται δίπλα στην πόρτα του οδηγού, «δεν κινούμουν με καμιά ταχύτητα όταν με στοχεύσατε με το ραντάρ».

«Όχι, δα», σας απαντά. «Το ραντάρ έδειξε ότι πηγαίνετε με 80 χιλιόμετρα την ώρα. Και το σήμα που μόλις προσπεράσατε έγραφε ότι το όριο ταχύτητας είναι 50».

«Αφήστε με να σας εξηγήσω», αποκρίνεστε, «Όπως αναμφίβολα θα θυμάστε από τα σχολικά μαθηματικά, χιλιόμετρα την ώρα σημαίνει χιλιόμετρα δια ώρες. Αλλά τη στιγμή που μετρήσατε την ταχύτητά μου δεν πέρασαν ώρες. Πέρασαν μηδέν ώρες. Αυτό σημαίνει η λέξη «στιγμή» – δεν κυλά καθόλου χρόνος σε μια στιγμή. Επομένως, για να υπολογίσετε την ταχύτητά μου εκείνη τη στιγμή θα έπρεπε να διαιρέσετε με το μηδέν», και η διαίρεση με το μηδέν απαγορεύεται αυστηρά από τους κανόνες των μαθηματικών. Είναι πράξη αόριστη.

» Με άλλα λόγια», καταλήγετε με απολύτως σοβαρό ύφος, «ήταν αδύνατον να προσδιορίσετε την ταχύτητά μου τη στιγμή που υποτίθεται ότι τη μετρήσατε. Δεν θα γινόταν ποτέ δεκτό κάτι τέτοιο στο δικαστήριο. Οι δικαστές είναι πολύ λογικοί άνθρωποι, ξέρετε, και τρέφουν μεγάλο σεβασμό για τους νόμους των μαθηματικών».

Αφού σκέφτεται για λίγο τα λόγια σας, ο αστυνομικός επιτίθεται στη βάση του συλλογισμού σας: «Δεν έχω ακούσει πιο γελοία δικαιολογία από παραβάτη», λέει με χαμηλή και απειλητική φωνή. «Φυσικά και επιτρέπεται η διαίρεση με το μηδέν».

«Μισό λεπτό», αποκρίνεστε, βγάζοντας χαρτί και μολύβι. «Αν επιτρεπόταν η διαίρεση με το μηδέν, τότε όλο το αριθμητικό σύστημα, όπως το γνωρίζουμε, θα τιναζόταν στον αέρα.

»Σας εξηγώ: Έστω ότι επιτρέπεται να διαιρέσουμε, ας πούμε, τον αριθμό ένα με το μηδέν. Όπως ασφαλώς θα θυμάστε από το σχολείο, η διαίρεση του ένα με το μηδέν ισοδυναμεί με το κλάσμα 1/0». (στο σημείο αυτό αρχίζετε, καθώς μιλάτε, να γράφετε αριθμούς.) «Αν το 1/0 επιτρεπόταν ως αριθμός, τότε θα ίσχυαν ταυτόχρονα το (1/0)∙0=1 [κατά το (1/2)∙2=1], και το (1/0)∙0=0 [κατά το (1/2)∙0=0]. Με άλλα λόγια, το ένα και το μηδέν θα ήταν το ίδιο πράγμα, θα ήταν ίσα μεταξύ τους:1=0.

»Διαλέξτε τώρα όποιον αριθμό θέλετε, ας πούμε το 50, και πολλαπλασιάστε τον με τα δύο μέλη της ισότητας 1=0. Μετά την πράξη αυτή θα έχουμε και πάλι δύο ίσους αριθμούς, καθώς τα μέλη της ισότητας θα έχουν τροποποιηθεί κατά τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή, δείτε, θα ισχύει: 50∙1=50∙0, ή 50=0. Συνεπώς, μπορούμε να αποδείξουμε ότι οποιοσδήποτε αριθμός ισούται με το μηδέν. Εφόσον επιτρέπεται η διαίρεση με το μηδέν, δεν γίνεται να αποφύγουμε το παραπάνω συμπέρασμα. Και αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το αριθμητικό σύστημα, παφ, μόλις έγινε καπνός!

»Και να ξέρετε κύριε αστυνομικέ, ότι όταν προσβάλλω στο δικαστήριο το πρόστιμο που με τόσο ζήλο γράφετε, θα κληθείτε να εξηγήσετε στον δικαστή ότι δεν τρέχει τίποτε αν όλοι οι αριθμοί ισούνται με το μηδέν, κάτι που, όπως μόλις σας έδειξα, συνιστά λογικό επακόλουθο των αρχικών σας παραδοχών σας. Και αν ο δικαστής το αποδεχθεί αυτό, τότε εγώ θα υποχρεωθώ να επισημάνω ότι τα 80 χιλιόμετρα την ώρα με τα οποία διατείνεστε ότι έτρεχα ισούνται στην πραγματικότητα με 0 χιλιόμετρα την ώρα. Η ίδια επιχειρηματολογία σας υα αποδείξει ότι ήμουν απλώς παρκαρισμένος στην άκρη του δρόμου όταν εσείς προφανώς τα κάνατε θάλασσα με το ραντάρ χειρός. Πάντα το ήξερα ότι αυτά τα μαραφέτια είναι επικίνδυνα».

Μη θεωρήσετε ότι ο αστυνομικός που πρωταγωνιστεί στη μικρή αυτή κωμική ιστορία είναι ανόητος. Χρειάστηκε η συνδρομή δυο σπουδαίων μαθηματικών – του Ισαάκ Νεύτωνα και του Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς – για να ανακαλυφθεί, μέσω της επινόησης του απειροστικού λογισμού, ένας τρόπος υπολογισμού των στιγμιαίων ρυθμών μεταβολής. Οι μαθηματικοί χρειάστηκαν άλλους δυο αιώνες για να διατυπώσουν τις τεχνικές που υπεισέρχονται σε τέτοιους υπολογισμούς με έναν πλήρως πειστικό και ακλόνητο τρόπο.

Έτσι, αν ο αστυνομικός είχε διδαχθεί απειροστικό λογισμό (ή, ακόμη καλύτερα, αν είχε διαβάσει αυτό το βιβλίο), θα είχε ξεσκεπάσει με ευκολία την απάτη σας. Πράγματι, ο διαφορικός λογισμός, ο ένας από τους δυο βασικούς κλάδους του απειροστικού λογισμού (ό άλλος είναι ο ολοκληρωτικός λογισμός), αφορά τις διαδικασίες χειρισμού συναρτήσεων που αναπαριστούν τη μεταβολή μεγεθών, ώστε να απαντηθούν ερωτήματα όπως: «Αν ένα αυτοκίνητο, ξεκινώντας με μηδενική αρχική ταχύτητα, διανύει απόσταση 8t2 μέτρων σε t δευτερόλεπτα, ποια θα είναι η στιγμιαία ταχύτητά του έπειτα από ακριβώς 5 δευτερόλεπτα;».

Δυστυχώς για τους σπουδαστές των μαθηματικών, σε ορισμένες συναρτήσεις (για την ακρίβεια, σε πολλές συναρτήσεις), η εφαρμογή τέτοιων διαδικασιών αποδεικνύεται ιδιαίτερα κοπιαστική και επίπονη – κάτι που συνιστά τη βασική αιτία της δυσφορίας που προκαλεί η ενασχόληση με τον συγκεκριμένο κλάδο (…)

απόσπασμα από το βιβλίο «Μια πολύ κομψή εξίσωση«, David Stipp, εκδόσεις κάτοπτρο