Η άσκηση που ο Νεύτωνας θα έλυνε μέσα σε 5 λεπτά

Posted on 06/07/2020

0


Η βαρυτική δύναμη που ασκείται σε μια σημειακή μάζα στο τυχαίο σημείο Ρ, στο εσωτερικό μιας κοίλης σφαιρικής κατανομής μάζας, ισούται με μηδέν. Ο Nεύτωνας έδωσε μια εξαιρετική απόδειξη της πρότασης αυτής χρησιμοποιώντας απλή γεωμετρία.

Ο Νεύτωνας απέδειξε ότι το βαρυτικό πεδίο σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο μιας κοίλης σφαίρας ισούται με μηδέν, χρησιμοποιώντας πολύ απλά γεωμετρικά επιχειρήματα (βλέπε π.χ. ΕΔΩ: Force on a point inside a hollow sphere ή ΕΔΩ: Newton’s superb theorem: An elementary geometric proof). Αυτό το παράδειγμα του Νεύτωνα μας δείχνει ότι μπορούμε να λύνουμε δύσκολα προβλήματα με απλή γεωμετρία, χωρίς την χρήση ανώτερων μαθηματικών.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα παρόμοιο πρόβλημα. Πρόκειται για μια από τις 100 επιλεγμένες ασκήσεις που έδινε ο Vladimir Arnold για να εκπαιδεύσει τους φοιτητές του. Ο Arnold υποστήριζε ότι το καθένα από αυτά τα προβλήματα δεν απαιτούσε πάνω από πέντε λεπτά για να λυθεί.  Σύμφωνα με τον Oleg Karpenkov, φοιτητή του Arnold, δεν υπήρξε φοιτητής που να έλυσε πάνω από το 90% αυτών των προβλημάτων. Ένα από αυτά είναι το παρακάτω.

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle \lim_{x \to\ 0} \frac{\sin \tan x  - \tan \sin x}{\arcsin \arctan x - \arctan \arcsin x}

Το όριο αυτό μπορεί να υπολογιστεί με τρεις τρόπους:

1. Να χρησιμοποιήσουμε ένα πρόγραμμα σαν το Mathematica και να πάρουμε αμέσως την απάντηση. Αυτό όπως δεν είναι μαθηματικός υπολογισμός …
2. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα de L’ Hopital. Δοκιμάστε και θα δείτε πως θα σας πάρει πολύ χρόνο.
3. O τρίτος τρόπος είναι συντομότατος και κατά συνέπεια κομψότερος. Ο Vladimir Arnold ισχυριζόταν ότι το εν λόγω όριο ο Νεύτωνας θα το έβρισκε μέσα σε λίγα λεπτά χρησιμοποιώντας «γεωμετρικά επιχειρήματα», που κατά την γνώμη του, οι περισσότεροι μαθηματικοί σήμερα είναι δύσκολο να σκεφτούν.
Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε f(x)=\sin ( \tan x ) και g(x)=\tan (\sin x ), τότε το παραπάνω όριο γράφεται:

\displaystyle \lim_{x \to\ 0} \frac{f(x)  -g(x)}{g^{-1}(x) - f^{-1}(x)}

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g εφάπτονται την ευθεία y=x στην αρχή των αξόνων κσι οι λόγοι |ΑΒ|/|ΒC| και |ΒC|/|ED| τείνουν στη μονάδα καθώς το σημείο Α πλησιάζει στην αρχή των αξόνων, επομένως, δεδομένου ότι |D’E’|=|ED| (εξαιτίας της συμμετρίας των αντίστροφων συναρτήσεων) και το όριο του λόγου |ΑΒ|/|D’E’| ισούται με την μονάδα. Όμως |AB|=f(x)-g(x) και |D'E'|=g^{-1}(x) - f^{-1}(x), οπότε:

\displaystyle \lim_{x \to\ 0} \frac{\sin \tan x  - \tan \sin x}{\arcsin \arctan x - \arctan \arcsin x}=1

Όσοι δεν ικανοποιούνται με την παραπάνω προσέγγιση, μπορούν να αποζημιωθούν διαβάζοντας στη συνέχεια …

1.  Πως περιγράφει τον V. Arnold, ένας μαθητής του, ο Οleg Karpenkov:

Click to access 1007.0688.pdf

2. Το βιβλίο του V. I. Arnold με τίτλο «Huygens and Barrow, Newton and Hooke» (κατεβάστε το σε PDF πατώντας ΕΔΩ):

Click to access huygens-and-barrow-newton-and-hooke-vladimir-i.-arnold.pdf