Μήπως ήρθε η ώρα να καταλάβουμε;

Άρθρο του Χρήστου Τρικαλινού (Ομότιμου Καθηγητή ΕΚΠΑ)

(To άρθρο σε PDF)

Click to access ce91cea1ce98cea1ce9f-ce9cce9fcea5.pdf

διαβάστε επίσης: «Μήπως ήρθε η ώρα να συμφωνήσουμε;«



Κατηγορίες:ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

4 replies

  1. Καλημέρα σας.

    Μήπως μπορείτε να δημοσιεύσετε ολόκληρη την ανάρτηση του Χ. Τρικαλινού, για όσους δεν έχουν πρόσβαση στο Facebook;

    Ευχαριστώ.

  2. … και επειδή πολλοί δεν έχουμε λογαριασμό στο facebook (και φορτωνόμαστε σ’ αυτούς που έχουν) αυτή την στιγμή εξελίσσεται ένας σχετικός διάλογος (ΕΔΩ: https://www.facebook.com/christos.trikalinos) μεταξύ των καθηγητών του ΕΚΠΑ Θεοχάρη Αποστολάτου και Χρήστου Τρικαλινού:

    Haris Apostolatos κ. Τρικαλινέ. Κατ’ αρχάς θα έλεγα ότι οι μαθητές που καλούνται να απαντήσουν σε ένα θέμα των πανελληνίων δεν οφείλουν να γνωρίζουν τις ασάφειες των βιβλίων οπότε αν δικαιολογούσαν τη σκέψη τους βάσει είτε λογικής, όπως αναφέρετε, είτε τύπων του βιβλίου, εγώ θα τις θεωρούσα σωστές. Το θέμα που συζητάμε περί περιστροφών δεν είναι καθόλου θέμα ερμηνείας, ούτε λεκτικό. Είναι θέμα Φυσικής. Για παράδειγμα οι ροπές που ασκούνται σε ένα σώμα είναι το αίτιο της αλλαγής της περιστροφικής τους κατάστασης (πάντα μετρώντας σε ένα αδρανειακό σύστημα). Επομένως δεν θα πρέπει να συζητάμε ως προς ποιο παρατηρητή μετράμε τις στροφές – θα τις μετράμε πάντα ως προς κάποιον αδρανειακό, π.χ. τον άξονα της ράβδου στο παράδειγμά σας. Ας πάρουμε τώρα τις 2 περιπτώσεις που αναφέρατε: (1) τον δίσκο χαλαρά βιδωμένο στο άκρο της ράβδου και (2) τον δίσκο σφιχτά βιδωμένο στο άκρο της ράβδου. Στην 1η περίπτωση η ροπή στον δίσκο (βάρος και αντίδραση άρθρωσης) είναι 0 γι’ αυτό και ο δίσκος δεν περιστρέφεται. Απλώς μετακινείται το κέντρο του (όπως και όλα τα σημεία του) σε κυκλική τροχιά. Τα σημεία αυτά πράγματι περιστρέφονται ως προς τον άξονα της ράβδου. Όχι όμως και ο δίσκος αφού ο προσανατολισμός των ακτίνων του (φανταστείτε το σαν ρολόι) δεν αλλάζουν. Μπορούμε να πούμε ότι ο δίσκος κινείται, περιφέρεται, αλλά το «περιστρέφεται» παρόλο που θα το χρησιμοποιούσαμε στην καθημερινή μας γλώσσα, θα το αποφεύγαμε στη Φυσική για να είμαστε συνεπείς. Στη 2η περίπτωση ο δίσκος περιστρέφεται (αλλάζει ο προσανατολισμός των ακτίνων του) και ταυτόχρονα μεταφέρεται επί καμπυλόγραμμης τροχιάς ή αν θέλουμε περιστρέφεται ως προς το σημείο Ο της ράβδου. Προφανώς οι 2 περιπτώσεις θα εξελιχθούν διαφορετικά συν το χρόνω ακριβώς εξαιτίας της ύπαρξης περιστροφής ή μη. Θεωρώ, επίσης, ότι οι μετρήσεις των ξετυλιγμάτων μπορεί να οδηγήσει σε παραπειστικά αποτελέσματα. Για παράδειγμα κρατάμε το ακρούλι ακίνητο αλλά πιάνουμε το νήμα και το ξετυλίγουμε με το χέρι μας. Το ξετύλιγμα δεν συνδέεται με στροφές του καρουλιού, αλλά με κινεήσεις των χεριών μας. Αυτά από εμένα και να σημειώσω ότι το 2015, μετά από ένα αντίστοιχο θέμα πανελλαδικών, εγώ το έλυσα λάθος θεωρώντας ότι η κυλιόμενη μπίλια (ή κύλινδρος – δεν θυμάμαι) επί τεταρτοκυκλίου είναι αποτέλεσμα 2 περιστροφών (1 γύρω από τον άξονα της μπίλιας και 1 γύρω από το κέντρο του τεταρτοκυκλίου), οπότε η δυναμική της εξέλιξης θα έπρεπε να λαμβάνει υπόψη την ροπή αδράνειας της μπίλιας γύρω από το κέντρο του τεταρτοκυκλίου. Μου πήρε αλήθεια αρκετό χρόνο να το καταλάβω (καταφεύγοντας και στον Landau) και τότε κατάλαβα ότι πρόκειται για περιστροφή και μεταφορά (στην δυναμική ανάλυση, στη γραφή της Λαγκρανζιανής, κλπ). Νομίζω πως όλη η συζήτηση αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη και κρύβει τη γοητεία που εμπεριέχει η ανάλυση του στερεού σώματος που δυστυχώς έχει σιγά-σιγά ξεγλυστρίσει και από το σχολείο και από το Φυσικό (κρίμα!)

    Christos Trikalinos Χάρη, μάλλον κάποια παρανόηση έγινε. Εγώ δεν χρησιμοποίησα ΠΟΥΘΕΝΑ το χαλαρό δίσκο χωρίς υπόστρωμα (τεταρτοκύκλιο). Χαλαρός ήταν μόνο όταν εφαπτόταν στο τεταρτοκύκλιο. Ας έρθουμε τώρα σε κάτι άλλο. Λες, και πολύ σωστά, ότι τις περιστροφές τις μελετάμε σε αδρανειακό σύστημα. Δηλαδή στο συζητούμενο πρόβλημα ΣΤΟ ΚΕΝΤΡΟ του τεταρτοκυκλίου. Επειδή ο δίσκος κυλίεται είναι προφανές ότι αυτό οφείλεται σε μια ροπή. Είναι κάποιες δυνάμεις τριβής του τοιχώματος. Ως προς τι θα πρέπει να προσδιορίσουμε αυτές τις ροπές. Μα ως προς το Ο. Άρα το θέμα της δυναμικής το λύσαμε. Όλα ισχύουν, ψάχνουμε τώρα να βρούμε ένα κινηματικό μέγεθος, τον αριθμό των περιστροφών ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΟ σύστημα. Για να μελετήσουμε τον αριθμό των περιστροφών ως προς το Ο χρησιμοποιούμε από δω και πέρα μόνο κινηματική. Παίρνουμε 2 συστήματα αναφοράς, ένα στο Ο και ένα (που δεν είναι αδρανειακό, αλλά εφόσον δεν φτάσουμε στις επιταχύνσεις δεν μας πειράζει) στο ΚΜ του δίσκου και κάνουμε υπολογισμούς. Επίσης πρέπει να πάρουμε υπόψη (δεν το γράφω αυτό για σένα) ότι κατά την κύλιση σε καμπύλη επιφάνεια δεν ξέρουμε ποια συνθήκη ισχύει, όπως ξέρουμε για την κύλιση σε ευθύγραμμη τροχιά (στην πορεία της λύσης θα προκύψει). Έχω κάνει αναλυτικά ΟΛΕΣ αυτές τις διαδικασίες με διάφορους τρόπους και το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι ΠΑΝΤΑ ΤΟ ΙΔΙΟ, Να το ξαναγράψω μια φορά ακόμη: 7. Έχεις κάποια αντίρρηση σε αυτά;

    [Haris Apostolatos Θα προσθέσω ακόμη ένα παράδειγμα για να κάνω ακόμη πιο ξεκάθαρο το θέμα των περιστροφών. Έστω δίσκος του οποίου το κέντρο κινείται ελεύθερα στο χώρο επί του άξονα x από τα αρνητικά προς τα θετικά, κρατώντας το επίπεδό του επί του x-y επιπέδου (χωρίς να έχει ο δίσκος αρχική γωνιακή ταχύτητα και χωρίς αυτός να κυλίεται σε κάποιο οδηγό). Αρχικά ο δίσκος (το κέντρο του) βρισκόταν στο x=-1 και τελικά στο x=1. Ο δίσκος περιστράφηκε? Η υπόθεση της περιστροφής περί της αρχής των αξόνων δεν νομίζετε ότι είναι κάπως προβληματική σε αυτή την περίπτωση? Το γεγονός ότι το κέντρο του έδειχνε προς τα αρνητικά x αρχικά και προς τα θετικά x τελικά, σημαίνει ότι στράφηκε κατά π? Δεν θα πρέπει η έννοια της περιστροφής να έχει κάποιο νόημα ανεξάρτητο από τις θεωρήσεις μας?]

    Haris Apostolatos Ναι διαφωνώ. Εγώ ως περιστροφή στερεού αντιλαμβάνομαι τη στροφή του βέλους που είναι σχεδιασμένο αρχικά στο δίσκο. Η 2η παράγωγος αυτής της γωνίας συνδέεται με την ροπή ως προς το κέντρο του δίσκου. Η ροπή ως προς το κέντρο του τεταρτοκυκλίου συνδέεται με την αλλαγή στροφορμής του δίσκου ως να ήταν υλικό σημείο στο κέντρο του δίσκου + αλλαγή της ιδιοστροφορμής. Αν απουσίαζε η τριβή θα είχαμε αλλαγή της στροφορμής του δίσκου ως υλικό σημείο, αλλά καθόλου αλλαγή της ιδιοστροφορμής (πάντα ο δίσκος θα έδειχνε τον ίδιο προσανατολισμό). Έχω γράψει και ένα παράδειγμα πιο κάτω (ευθύγραμμη κίνηση δίσκου) για να κάνω πιο σαφές τι είναι στροφή και τι όχι. Εγώ τη στροφή του υλικού σημείου δεν τη θεωρώ περιστροφή. Περιστροφή καταλαβαίνω ότι συμβαίνει μόνο στα στερεά σώματα.

    Christos Trikalinos Haris Apostolatos Λυπάμαι, αλλά έχεις άδικο γιατί κτίζεις τους συλλογισμούς σου σε μη υπαρκτή δική μου θέση Δεν καταλαβαίνω αυτά περί βέλους, ΠΟΥ ΤΟ ΕΙΔΕΣ ΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΑ;;;; Σε λίγο θα ανεβάσω και την πλήρη μαθηματική λύση σε pdf.

    Haris Apostolatos Christos Trikalinos Μάλλον το fb δημιουργεί προβλήματα στην επικοινωνία. Δεν είμαι σίγουρος ότι βασίστηκα σε κάποια δική σας θέση. Απλά θεώρησα την ακτίνα τη ζωγραφισμένη στο δίσκο (που φαίνεται σε κάποιες προσομοιώσεις αλλά είναι προφανές και από τη δική σας καθαρή και μη αμφισβητίσιμη απάντηση ότι ξετυλίχτηκαν 7 κουλούρες νήμα) η οποία αν στην αρχή έδειχνε 9:00 στο τέλος, αφού ξετυλίχτηκαν 7 κουλούρες και το σημείο που αρχικά πατούσε στον οδηγό το ίδιο ακριβώς σημείο ξαναπατά στον οδηγό, θα δείχνει 6:00. Αυτό είναι 1/4 της περιστροφής κι δεν μπορούμε να το συσχετίσουμε με το 1/4 του κύκλου που διέγραψε το κέντρο του δίσκου (προσέξτε αποφεύγω να γράψω περιστροφής, γιατί όπως είπα δεν έχει φυσικό νόημα η περιστροφή σημείου). Επομένως η απάντηση για την περιστροφή δεν μπορεί να έιναι ακέραιος αριθμός (από το 9:00 στις 6:00 είναι κλάσμα περιστροφής. Σύμφωνα με την παρατήρηση αυτή μιλάω για 6.75 και όχι 7 περιστροφές (με τη φυσική έννοια της περιστροφής και όχι με την καθημερινή έννοια).
    (……)

  3. από το facebook του Χρήστου Τρικαλινού

    ΜΙΑ ΟΦΕΙΛΟΜΕΝΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ
    Ίσως διαπιστώσατε, ότι τις τελευταίες μέρες έχω εξαφανιστεί από το facebook και δεν απαντώ στα μηνύματά σας. Αιτία ήταν μια επείγουσα δουλιά την οποία ολοκλήρωσα πριν λίγο.
    Αυτή αναγκαστική «αποτοξίνωση» είχε και ένα καλό. Μου επέτρεψε να σκεφθώ το πρόβλημα που συζητάμε ήρεμος και ανεπηρέαστος. Δεν έβαλα μολύβι και χαρτί, δεν είχα τη δυνατότητα, Τα συμπεράσματά μου, τα οποία θα σας αναλύσω παρακάτω έγιναν απλά με συλλογισμούς.
    Πάμε λοιπόν.
    1. Το τελευταίο που διάβασα από τα σχόλιά σας αναφερόταν στο ότι «για να έχουμε περιστροφή πρέπει να έχουμε ροπή», εμπλέκοντας λανγκρατζιανές και Λαντάου. Επ’ αυτού έχω να πω τα εξής: α) Η αιτία εμφάνισης της περιστροφής είναι πάντα η ροπή. Όμως η περιστροφή μπορεί να γίνεται (όχι να αρχίζει) και χωρίς ροπές. Παράδειγμα ένας δίσκος που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο. Εδώ δεν έχουμε ΚΑΜΙΑ ροπή, αλλά ο δίσκος προφανώς συνεχίζει να περιστρέφεται. β) Στο πρόβλημα που εξετάζουμε ροπές υπάρχουν κατά τη διάρκεια όλης της διαδικασίας. Ως προς το ΚΜ του δίσκου έχουμε μόνο τη ροπή της δύναμης τριβής, ενώ ως προς το κέντρο του τεταρτοκυκλίου έχουμε τη ροπή της δύναμης τριβής ΚΑΙ τη ροπή της συνιστώσας του βάρους, που είναι παράλληλη προς την τριβή. Δεν χρειάζεται να κάνουμε υπολογισμούς για να καταλάβουμε ότι το άθροισμά τους ΔΕΝ είναι μηδέν.
    2. Έστω τώρα ότι έχουμε έναν παρατηρητή πάνω σε δίσκο (αναβάτη μιας μοτοσικλέτας) που κινείται σε επίπεδη, κοίλη ή κυρτή κυκλική επιφάνεια και διανύει απόσταση |ΔS| (χρησιμοποιώ εδώ απόλυτη τιμή για να δείξω το μέτρο, μιας και παρακάτω θα μιλήσω για αλγεβρική τιμή). Ο δίσκος έχει ακτίνα r και η κυκλική επιφάνεια ακτίνα R. Είναι προφανές ότι οι παρατηρητές που κινούνται σε κυκλικές επιφάνειες δεν είναι αδρανειακοί. Αν όμως μελετάμε αποστάσεις ή/και ταχύτητες αυτό δεν έχει καμιά σημασία. Τα πράγματα αλλάζουν αν πάμε σε επιταχύνσεις ή δυνάμεις, αλλά εδώ δεν θα το κάνουμε. Από την άποψη αυτή για τους συγκεκριμένους παρατηρητές δεν έχει ΚΑΜΙΑ σημασία (για τα μεγέθη που αναφέραμε) αν κινούνται σε ευθεία η κυκλική τροχιά και ισχύει ΠΑΝΤΑ ότι η ταχύτητα του ΚΜ του δίσκου και του ίχνους του στο δάπεδο είναι ίσες. Επομένως αφού και οι τρεις θα διανύσουν απόσταση |ΔS|, ο αριθμός των περιστροφών του δίσκου θα είναι Ν=|ΔS|/(2πr). Αυτό εξηγεί και γιατί σε ΟΛΕΣ τις περιπτώσεις από το δίσκο ξετυλίγονται τόσες «κουλούρες» νήματος ΠΑΝΤΑ.
    3. Περνάμε τώρα στο σύστημα του κέντρου της κυκλικής επιφάνειας, η αλλιώς «απόλυτο», όπως το λένε κάποιοι. Στο σύστημα αυτό η ισότητα των ταχυτήτων του ΚΜ του δίσκου και του ίχνους του στο δάπεδο ΔΕΝ ισχύει. Αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό, επειδή τα δύο σημεία βρίσκονται ΠΑΝΤΑ στην ίδια ακτίνα, αλλά σε διαφορετική απόσταση από το κέντρο περιστροφής. Τι ισχύει; Η ισότητα των μέτρων των γωνιακών τους ταχυτήτων. Τονίζω ότι μιλάμε για την ταχύτητα του ΚΜ του δίσκου και του ΙΧΝΟΥΣ του στην επιφάνεια. Εύκολα μπορεί να καταλάβει κανείς, αν φαντασθεί την εικόνα, ότι αν π.χ. ο δίσκος κατεβαίνει περιστρεφόμενος δεξιόστροφα (όπως οι δείκτες του ρολογιού) σε κοίλη επιφάνεια το ίχνος κατεβαίνει περιστρεφόμενο αριστερόστροφα (αντίθετα με τους δείκτες, ενώ για την κυρτή επιφάνεια ΚΜ και ίχνος θα περιστρέφονται με την ίδια φορά. Από εδώ προκύπτει, ότι ο αριθμός των περιστροφών που μετράει ακίνητος παρατηρητής θα είναι Ν΄=|ΔS|/(2πr)+ΔS/(2πR), όπου το ΔS είναι η αλγεβρική τιμή του τόξου που διαγράφει ο δίσκος με το πρόσημα συν (+) αν είναι κυρτή και το πρόσημο πλην (-) αν είναι κοίλη. Μάλιστα μπορούμε να πούμε ότι ο τύπος αυτός καλύπτει ΟΛΕΣ τις περιπτώσεις για ακίνητο παρατηρητή, μιας και η επίπεδη επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί μέρος κυκλικής με άπειρη ακτίνα.
    4. Επομένως το συμπέρασμα που προκύπτει από αυτούς τους συλλογισμούς είναι ότι στο πρόβλημα που συζητάμε η σωστή απάντηση είναι ότι ο δίσκος θα εκτελέσει 7 περιστροφές γύρω από τον άξονά του και 6,75 γύρω από τον απόλυτο παρατηρητή. ΣΗΜΕΙΩΣΗ! Όποιος καταλήγει στη σωστή απάντηση (6,75), θεωρώντας ότι για τον απόλυτο παρατηρητή οι ταχύτητας των δύο σημείων είναι ίσες, όπως η «λύση» που αποτέλεσε αφορμή της αρχικής μου παρέμβασης έχει ΛΑΘΟΣ ΛΥΣΗ.
    ΤΕΛΕΙΩΝΟΝΤΑΣ θα ήθελα να πω, ότι πριν λίγες μέρες είπα σε κάποιο φίλο: «όλοι μας κάνουμε λάθη, αυτό δεν είναι πρόβλημα, αρκεί να τα καταλάβουμε και να τα παραδεχτούμε». Το είπα και το πιστεύω…
    https://www.facebook.com/christos.trikalinos

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε <span>%d</span> bloggers: