Παίζοντας με το Rosebud(*)

Posted on 03/06/2020

0


Κυκλοφορεί πάλι το εξής «διαχρονικό» πρόβλημα (ίσως από το παλιό περιοδικό Kvant):
Ένα παιδί σέρνει το έλκηθρό του κατά μήκος μιας χιονισμένης πλαγιάς. Το έλκηθρο θα διανύσει κατακόρυφη απόσταση h και οριζόντια απόσταση α.
Υποθέτοντας ότι η δύναμη που ασκείται στο έλκηθρο από το σχοινί είναι συνεχώς εφαπτόμενη στην τροχιά, και ότι ο συντελεστής τριβής μεταξύ ελκήθρου και πλαγιάς είναι μ, να υπολογιστεί το έργο της δύναμης του παιδιού.

Στην λύση που προτείνεται η διαδρομή θεωρείται ότι συνίσταται από μικρά ευθύγραμμα τμήματα dℓ. Για κάθε στοιχειώδες τμήμα dℓ, το ζητούμενο έργο υπολογίζεται ως: dWF=|dWT|+|dWB|
To στοιχειώδες έργο του βάρους θα είναι |dWB|=mg∙dh.
Θεωρώντας ότι Ν=mgcosφ, το έργο στοιχειώδες έργο της τριβής θα είναι  |dWT|=μmgcosφ∙dℓ=μmg∙dα.
Οπότε, ολοκληρώνοντας σε όλη τη διαδρομή παίρνουμε για το έργο της τριβής: |WT|= μmg∙α= ανεξάρτητο της διαδρομής! [και για το έργο της δύναμης F, WF=mg(μ∙α+ h)].

Με λίγα λόγια αποδείξαμε ότι η τριβή είναι συντηρητική δύναμη! Που βρίσκεται το λάθος;
Στο γεγονός ότι δεχόμαστε Ν=mgcosφ σε μια καμπύλη τροχιά. Η ταχύτητα του σώματος, έστω σταθερού μέτρου, σε μια συνεχή (τυχαία) τροχιά αναγκάζεται να αλλάξει κατεύθυνση. Κι αυτό σημαίνει πως εμφανίζεται κεντρομόλος δύναμη.
Έτσι, ανάλογα με την καμπυλότητα της τροχιάς ισχύει: Ν= mgcosφ ±Fκεντρομόλος
Η κάθετη δύναμη Ν είναι μια μεταβλητού μέτρου δύναμη, οπότε το έργο της τριβής δεν είναι δυνατόν να υπολογιστεί με το παραπάνω κόλπο (το οποίο λειτουργεί μόνο σε πλάγιο επίπεδο σταθερής κλίσης).

Τότε, πως υπολογίζεται το έργο της τριβής ολίσθησης για μια τυχαία καμπύλη διαδρομή;
Μια απάντηση που κυκλοφορεί είναι η εξής:
Αν η εξίσωση της τροχιάς που διανύει το σώμα γραφεί ως y=f(x), τότε παίρνοντας υπόψιν το γεγονός ότι Ν= mgcosφ ±Fκεντρομόλος, το έργο της τριβής είναι: |W_{T}|=2\mu mg \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{1+f'(x)^{2}}{2+f'(x)^{2} - \mu f'(x)} dx
… αλλά αυτό θα το εξετάσουμε σε μια προσεχή ανάρτηση.

(*)Rosebud (Ροδανθός). Στην ταινία του Όρσον Γουέλς «Πολίτης Κέιν« ήταν η επιγραφή στο έλκηθρο που είχε ο πρωταγωνιστής μεγιστάνας όταν ήταν παιδί, και το οποίο δεν πέταξε ποτέ!

via Δ.Ρ.