Πόσο χρόνο παραμένουν στον αέρα τα σταγονίδια από την εκπνοή;

Posted on 25/04/2020

0


Η ανθρώπινη εκπνοή δημιουργεί σταγονίδια διαφόρων μεγεθών (Ένα λεπτό ομιλίας γεννά πάνω από 1.000 σταγονίδια). Αν δεν υπήρχε αέρας ο χρόνος της πτώσης των σταγονιδίων μέχρι το έδαφος π.χ. από ύψος h=1,6 m θα ήταν \sqrt{2h/g}, περίπου 0,6 sec. Πόσο αλλάζει αυτό το χρονικό διάστημα αν πάρουμε υπόψη την επίδραση του αέρα;  Εξαιτίας του κορωνοϊού το ερώτημα αυτό αποκτά μεγαλύτερη σημασία. Πόσο χρόνο λοιπόν παραμένουν στον αέρα τα σταγονίδια της ανθρώπινης αναπνοής, τα οποία πιθανώς να είναι μολυσμένα από τον ιό;

Τον τελευταίο καιρό ακούμε από αρκετούς γιατρούς να υποστηρίζουν ότι τα σταγονίδια που προέρχονται από την ανθρώπινη εκπνοή είναι δυνατόν να αιωρούνται στον αέρα αρκετό χρόνο, από 5 μέχρι 10 λεπτά (βλέπε ΕΔΩ) ή και παραπάνω. Πως φτάνουν σε ένα τέτοιο συμπέρασμα; Ας το δούμε ως μια άσκηση απλής Φυσικής.

Για να λύσουμε το πρόβλημα θα κάνουμε μερικές παραδοχές.

Σύμφωνα με τους ειδικούς τα σταγονίδια της εκπνοής έχουν διαστάσεις από 0,5 μm έως 12 μm (1μm=10–6 m = 1 εκατομμυριοστό του μέτρου). Αρχικά θα θεωρήσουμε ένα σταγονίδιο ακτίνας r≈5μm, με πυκνότητα ρ≈103kg/m3 (όση η πυκνότητα του νερού), το οποίο πέφτει χωρίς αρχική ταχύτητα υπό την επίδραση των δυνάμεων του βάρους του (επιτάχυνση της βαρύτητας g10m/s2) και της αντίστασης του αέρα (του οποίου το ιξώδες θεωρούμε η≈1,85·10–5 Pa·s). Θεωρώντας την σταγόνα σφαιρική, η μάζα της υπολογίζεται από την σχέση: m=\rho \frac{4}{3} \pi r^{3}.

Αν v(t) είναι η ταχύτητα του σταγονιδίου καθώς πέφτει, η εξίσωση κίνησής του θα είναι: m \frac{dv(t)}{dt}=mg-F_{a}, όπου η δύναμη της αντίστασης του αέρα δίνεται σύμφωνα με το νόμο του Stokes από την σχέση: F_{a}=6 \pi \eta r v(t).

Έχουμε dv(t)/dt=g-\tau^{-1}v(t), με \tau=\frac{m}{6\pi \eta r}=\frac{2 \rho r^{2}}{9 \eta} .

Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση (δείτε ένα πανομοιότυπο πρόβλημα ΕΔΩ) παίρνουμε για την ταχύτητα: v(t)=v_{o \rho} (1-e^{-t/\tau})  και για  την κατακόρυφη απόσταση που διανύει το σταγονίδιο: y=v_{o \rho}t - v_{o \rho} \tau +v_{o \rho} \tau e^{-t/\tau}, όπου v_{o \rho} =g \tau =\frac{2 g \rho r^{2}}{9 \eta}. Βλέπουμε ότι το σταγονίδιο, θεωρητικά μετά από άπειρο χρόνο, αποκτά την σταθερή ταχύτητα v_{o \rho}. Στην πράξη όμως αυτός ο χρόνος είναι της τάξης των χιλιοστών του δευτερολέπτου.

  • Για σταγονίδιο ακτίνας r=5μm προκύπτουν οι εξής τιμές:
    \tau\cong 3 \cdot 10^{-4} s και v_{o \rho} \cong 3 \cdot 10^{-3} m/s.
    Η σταθερή ταχύτητα αποκτάται πρακτικά στο πολύ μικρό χρονικό διάστημα 5\tau \cong10^{-3}s, όταν έχει διανυθεί μια  ελάχιστη απόσταση ≈10–5m. Στη συνέχεια το σταγονίδιο πέφτει με την σταθερή ταχύτητα v_{o \rho}. Για να διανύσει μια «υπολογίσιμη» απόσταση, π.χ. y=10cm το σωματίδιο χρειάζεται χρόνο t\cong \frac{y}{v_{o \rho}}=\frac{9y \eta}{2g \rho r^{2} } =33 s, δηλ. πάνω από μισό λεπτό, ενώ για να φτάσει στο έδαφος, αφού διανύσει μια απόσταση y=1,6m απαιτείται χρόνος περίπου 9 λεπτά της ώρας.
  • Θεωρώντας μικρότερα σταγονίδια τα χρονικά διαστήματα προκύπτουν πολύ μεγαλύτερα. Για παράδειγμα ένα σταγονίδιο ακτίνας r=2μm διανύει απόσταση y=10cm μέσα σε 3,5 λεπτά,
    ενώ για να φτάσει στο έδαφος διανύοντας απόσταση y=1,6m χρειάζονται 56 λεπτά, δηλ. περίπου μια ώρα!

Κάπως, έτσι λοιπόν, διαμέσου του νόμου του Stokes και του προσδιορισμού της πολύ μικρής οριακής ταχύτητας, η οποία αποκτάται ταχύτατα, καταλήγει κανείς χονδρικά στο συμπέρασμα ότι τα σταγονίδια από την ανθρώπινη εκπνοή μπορούν να παραμένουν αέρα από 5 έως 10 ή και περισσότερα λεπτά στον αέρα.

Διαβάστε επίσης: «On the airborne aspect of COVID-19 coronovirus«