Γιατί οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις;

Posted on 02/04/2020

0


3,5 αιώνες μετά την διατύπωση του νόμου της βαρύτητας από τον νεαρό φοιτητή Ισαάκ Νεύτωνα, κατά την διάρκεια της επιδημίας της βουβωνικής πανώλης στην Αγγλία, θα αποδείξουμε, για να ξεχάσουμε λιγάκι την τωρινή πανδημία του κορωνοϊού, γιατί η τροχιά ενός πλανήτη είναι υποχρεωτικά η κωνική τομή έλλειψη με τον ήλιο στη μια των εστιών του.

Πριν ξεκινήσουμε, ας δούμε γιατί οι τροχιές των πλανητών είναι επίπεδες. Ο λόγος είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής. Η ελκτική δύναμη βαρύτητας που αισθάνεται ένας πλανήτης από τον ήλιο έχει ροπή μηδέν ως προς το κέντρο του ήλιου. Θεωρώντας αμελητέες τις δυνάμεις από τους άλλους πλανήτες, η συνισταμένη των ροπών που δέχεται ο πλανήτης είναι μηδέν, επομένως η τροχιακή στροφορμή του πλανήτη \vec{L} (ως προς το κέντρο του ήλιου) παραμένει σταθερή. Όμως το σταθερό διάνυσμα της στροφορμής πρέπει να είναι συνεχώς κάθετο στο επίπεδο που ορίζει κάθε φορά το διάνυσμα θέσης του πλανήτη \vec{r} (αρχή το κέντρο του ήλιου) και το διάνυσμα της ταχύτητας του πλανήτη \vec{v}. Επομένως η ταχύτητα και το διάνυσμα θέσης του πλανήτη θα πρέπει να βρίσκονται συνεχώς σε ένα επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα της στροφορμής (υπενθυμίζεται ότι η στροφορμή είναι το εξωτερικό γινόμενο: \vec{L}=m\,\vec{r}\times \vec{v}).

Αφού λοιπόν η τροχιά του πλανήτη είναι επίπεδη, η θέση του πάνω στο επίπεδο κίνησης θα καθορίζεται πλήρως από δυο συντεταγμένες. Είναι βολικό να επιλέξουμε την απόσταση του πλανήτη από τον ήλιο και την γωνία που σχηματίζει η επιβατική ακτίνα σε σχέση με κάποια κατεύθυνση αναφοράς. Σ’ αυτό το πολικό σύστημα συντεταγμένων η κίνηση του πλανήτη θα περιγράφεται από το ζεύγος των εξισώσεων: r=r(t) και \theta=\theta(t), οι οποίες δίνουν και το σχήμα της τροχιάς σε παραμετρική μορφή.
Αν Μ και m είναι οι μάζες του ήλιου και του πλανήτη, τότε η μηχανική ενέργεια

E=K+U=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{mM}{r}        (1)

διατηρείται σταθερή. H ταχύτητα του πλανήτη αναλύεται σε δυο συνιστώσες,
την ακτινική συνιστώσα v_{r}=\frac{dr}{dt}=\dot{r}, η οποία περιγράφει την καθαρά ακτινική κίνηση του σώματος (η τελεία συμβολίζει την παράγωγο ως προς τον χρόνο)
και την εγκάρσια συνιστώσα v_{\theta}=r\frac{d\theta}{dt}=r \dot{\theta}=r\omega, που αντιστοιχεί στο περιστροφικό κομμάτι της κίνησης, γι’ αυτό άλλωστε δίνεται από το γινόμενο της στιγμιαίας ακτίνας r επί την στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα \omega=\dot{\theta}.

Eισάγοντας την ακτινική και εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητας στην εξ. (1) παίρνουμε:

E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-\frac{GMm}{r}        (2)

Δεδομένου ότι τo μέτρο της στροφορμής του πλανήτη γράφεται L=mrv_{\theta}=mr^{2}\omega=mr^{2}\dot{\theta}, προκύπτει ότι: \dot{\theta}=\frac{L}{mr^{2}}. Αντικαθιστώντας στην εξ. (2) έχουμε

E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}-\frac{GMm}{r}       (3)

Αν αντικαταστήσουμε την παράγωγο του r ως προς t, με την παράγωγό του ως προς θ παίρνουμε:

\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=r'(\theta)\dot{\theta}=r'\frac{L}{mr^{2}}  (4)

όπου ο τόνος εκφράζει την παράγωγο ως προς θ. Η παραπάνω έκφραση μπορεί να γραφεί και ως

\dot{r}=\frac{r'}{r^{2}}\frac{L}{m}=-\frac{L}{m}\frac{d}{d\theta}\left( \frac{1}{r}\right)   (5)

Είναι φανερό πως θα χρησιμοποιηθεί ως άγνωστη συνάρτηση όχι η r=r(\theta), αλλά η u(\theta)=\frac{1}{r}. Έτσι, βάσει της εξ. (5) η εξ. (4) γράφεται \dot{r}=-\frac{L}{m}u' και αντικαθιστώντας στην εξ. (3) παίρνουμε:

\frac{L^{2}}{2m}u'^{2}+\frac{L^{2}}{2m}u^{2}-(GmM)u=E    (6)

H παραπάνω εξίσωση γράφεται

\frac{1}{2}u'^{2}+V(u)=\frac{mE}{L^{2}}=\sigma \tau \alpha \theta       (7)

όπου V(u)=\frac{1}{2}u^{2}-\frac{Gm^{2}M}{L^{2}}u, για το οποίο δεν είναι τυχαίο το σύμβολο του δυναμικού.

Σύμφωνα με την συλλογιστική που αναπτύσσεται  ΕΔΩ και ΕΔΩ η εξ. (7) παραπέμπει στην ολική ενέργεια (κινητική + δυναμική), ενός σώματος μοναδιαίας μάζας μ=1, που κινείται υπό την επίδραση μιας δύναμης F(u)=\mu u''=u''=-\frac{dV}{du}. Για το ΄δυναμικό’ V(u)=\frac{1}{2}u^{2}-\frac{Gm^{2}M}{L^{2}}u, η τελευταία εξίσωση θα δώσει: u''=-u+\frac{Gm^{2}M}{L^{2}} και η κίνηση πραγματοποιείται σε μια «διάσταση», εδώ την u. Έτσι, με το έξυπνο αυτό τέχνασμα η διαφορική εξίσωση (7) μεταπίπτει στην

u''(\theta)+u(\theta)=\frac{Gm^{2}M}{L^{2}}=\epsilon     (8)

όπου \epsilon=\frac{Gm^{2}M}{L^{2}} σταθερά. Kι αυτή την εξίσωση μπορούμε να την επιλύσουμε αποφεύγοντας την μαθηματική ορθότητα, αλλά δεν αξίζει τον κόπο. Φαίνεται αμέσως ότι πρόκειται για την διαφορική εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή με λύση  u(\theta)=\epsilon+A\cos(\theta - \theta_{0}), όπου Α και \theta_{0} σταθερές. Kι εφόσον είχαμε θέσει u=1/r, η εξίσωση της τροχιάς του πλανήτη θα είναι:

r(\theta)=\frac{1}{\epsilon+A\cos(\theta - \theta_{0})}       (9)

H εξ. (9) εκφράζει την πολική εξίσωση μιας κωνικής τομής. Για να είναι έλλειψη αυτή η κωνική τομή πρέπει \epsilon>A ώστε ο παρονομαστής να μην μπορεί να μηδενιστεί και η απόσταση από τον ήλιο να είναι συνεχώς πεπερασμένη (αυτό δεν συμβαίνει στις άλλες δυο κωνικές τομές, παραβολή και υπερβολή, οι οποίες εκτείνονται μέχρι το άπειρο). Kαι οι αρχικές συνθήκες θα πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να εξασφαλίζουν την συνθήκη \epsilon>A για να μην εκτροχιαστεί ο πλανήτης.

πηγή: «Συνήθεις Διαφορικές εξισώσεις», Στέφανος Τραχανάς, ΠΕΚ

μουσική επένδυση: Genesis – Firth Of Fifth