Ο κύκλος των αυξανόμενων αντιστάσεων

Posted on 22/03/2020

7


100 αντιστάσεις R, 2R, 3R, 4R, ….., 98R, 99R, 100R συνδέονται κατά αύξουσα σειρά σχηματίζοντας τον κύκλο του σχήματος:

Ο ένας πόλος ιδανικής  ηλεκτρικής πηγής (μηδενική εσωτερική αντίσταση) συνδέεται σε ένα σημείο ανάμεσα στην εκατοστή και την πρώτη αντίσταση.
Μεταξύ ποιών αντιστάσεων πρέπει να συνδεθεί ο άλλος πόλος της πηγής έτσι ώστε το ηλεκτρικό ρεύμα που θα διαρρέει την πηγή να είναι ελάχιστο;

 

απάντηση
Έστω ότι ο άλλος πόλος της πηγής συνδέεται μεταξύ της x-οστής και της (x+1) κατά σειρά αντιστάσεων όπου x ακέραιος αριθμός. Τότε, δημιουργούνται δυο κλάδοι αντιστάσεων, ο ένας περιέχει x αντιστάσεις σε σειρά με συνολική αντίσταση R_{x}=R(1+2+3+ \cdot +x)=R\frac{x(x+1)}{2}, ενώ ο δεύτερος περιέχει (100–x) αντιστάσεις και συμβολίζουμε την συνολική του αντίσταση με R_{x+1}.
Όμως το άθροισμα R_{x}+R_{x+1}=R(1+2+3+ \cdot +100)=5050R είναι σταθερό.

Για να είναι ελάχιστο το ηλεκτρικό ρεύμα που διέρχεται από την πηγή I=E/R_{o \lambda}, πρέπει το R_{o \lambda}=\frac{R_{x}R_{x+1}}{R_{x}+R_{x+1}}=\frac{R_{x}R_{x+1}}{5050R} να είναι μέγιστο. Ή να είναι μέγιστο το γινόμενο R_{x}R_{x+1}. Επειδή οι R_{x} και R_{x+1} έχουν σταθερό άθροισμα, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν R_{x}=R_{x+1}, οπότε 2R_{x}=5050R ή \frac{x(x+1)}{2}=2525. Λύνοντας το τριώνυμο που προκύπτει παίρνουμε x≈70,56. Όμως αφού το x είναι ακέραιος αριθμός συμπεραίνουμε ότι άλλος πόλος της πηγής πρέπει να συνδεθεί μεταξύ 71ου και 72ου αντιστάτη.

Στο διάγραμμα που ακολουθεί βλέπουμε την μεταβολή της της συνολικής αντίστασης συναρτήσει του x: