Η ομοιογένεια του χρόνου και η αρχή διατήρησης ενέργειας

Posted on 05/01/2020

0


Οι αρχές διατήρησης ενέργειας, ορμής και στροφορμής στην κλασική μηχανική προκύπτουν από τις ιδιότητες της ομοιογένειας και της ισοτροπίας του χώρου και του χρόνου. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας απορρέει από την ιδιότητα της ομοιογένειας του χρόνου, σύμφωνα με την οποία η Λαγκρανζιανή ενός κλειστού συστήματος δεν εξαρτάται ρητώς από τον χρόνο, οπότε:

\frac{dL}{dt}=\sum\limits_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i} + \sum\limits_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}

Σύμφωνα με τις εξισώσεις Lagrange: \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \right) και η παραπάνω εξίσωση γίνεται:

\frac{dL}{dt}=\sum\limits_{i} \dot{q}_{i} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} + \sum\limits_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \ddot{q} = \sum\limits_{i} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i} \right) \Rightarrow \frac{d}{dt} \left( \sum\limits_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - L \right)=0

ή \sum\limits_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - L = \sigma \tau \alpha \theta .

H σταθερή ποσότητα E=\sum\limits_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - L είναι η ενέργεια του συστήματος.
Η διατήρηση της ενέργειας δεν ισχύει μόνο για τα κλειστά συστήματα αλλά και γι αυτά που υπόκεινται σε σταθερό εξωτερικό πεδίο, δηλαδή ανεξάρτητο του χρόνου.
Η (ανεξάρτητη του χρόνου) Λαγκρανζιανή γράφεται ως: L=K(q,\dot{q})-U(q), όπου η K(q,\dot{q}) είναι μια τετραγωνική συνάρτηση των ταχυτήτων. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Euler για τις ομογενείς συναρτήσεις, παίρνουμε: \sum\limits_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} = \sum\limits_{i} \frac{\partial K}{\partial \dot{q}_{i}} = 2K
Συνεπώς η ενέργεια του συστήματος γράφεται

E=\sum\limits_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - L = K(q,\dot{q})+U(q)

ή σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

E=\sum\limits_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} + U (\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, ...)

Βλέπουμε πως η ενέργεια του συστήματος γράφεται ως άθροισμα δυο εντελώς διαφορετικών όρων: της κινητικής ενέργειας που εξαρτάται από τις ταχύτητες και της δυναμικής ενέργειας που εξαρτάται μόνο από τις συντεταγμένες των σωματιδίων του συστήματος.

 

Posted in: ΜΗΧΑΝΙΚΗ