Οι αρχές διατήρησης ενέργειας, ορμής και στροφορμής στην κλασική μηχανική προκύπτουν από τις ιδιότητες της ομοιογένειας και της ισοτροπίας του χώρου και του χρόνου. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας απορρέει από την ιδιότητα της ομοιογένειας του χρόνου, σύμφωνα με την οποία η Λαγκρανζιανή ενός κλειστού συστήματος δεν εξαρτάται ρητώς από τον χρόνο, οπότε:
Σύμφωνα με τις εξισώσεις Lagrange: και η παραπάνω εξίσωση γίνεται:
ή
H σταθερή ποσότητα είναι η ενέργεια του συστήματος.
Η διατήρηση της ενέργειας δεν ισχύει μόνο για τα κλειστά συστήματα αλλά και γι αυτά που υπόκεινται σε σταθερό εξωτερικό πεδίο, δηλαδή ανεξάρτητο του χρόνου.
Η (ανεξάρτητη του χρόνου) Λαγκρανζιανή γράφεται ως: , όπου η
είναι μια τετραγωνική συνάρτηση των ταχυτήτων. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Euler για τις ομογενείς συναρτήσεις, παίρνουμε:
Συνεπώς η ενέργεια του συστήματος γράφεται
ή σε καρτεσιανές συντεταγμένες:
Βλέπουμε πως η ενέργεια του συστήματος γράφεται ως άθροισμα δυο εντελώς διαφορετικών όρων: της κινητικής ενέργειας που εξαρτάται από τις ταχύτητες και της δυναμικής ενέργειας που εξαρτάται μόνο από τις συντεταγμένες των σωματιδίων του συστήματος.
Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ
Σχολιάστε