Μια διαφορική εξίσωση για «θετικούς» μαθητές

Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f(x) που ικανοποιεί την εξίσωση

2[f'(x)]^{2}+50f^{2}(x)-12.5=0

αν f(0)=1/2 και f'(0)=0.

Απάντηση:

Η εξίσωση μπορεί με μια πρώτη ματιά να δείχνει περίεργη, όμως με λίγη φαντασία αποκτά «φυσικό» νόημα.
Αν και δεν είναι απαραίτητο, ας αλλάξουμε τον συμβολισμό θέτοντας όπου: f(x) \leftrightarrow y(t).
Aν η συνάρτηση y(t) θεωρηθεί ως η θέση ενός σώματος συναρτήσει του χρόνου, τότε η πρώτη παράγωγός της θα είναι η  ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου y'(t)=v(t).
Έτσι, έχοντας κατά νου την εξίσωση ολικής ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή:

K+U=E \Rightarrow \frac{1}{2} \, m \,v(t)^{2}+\frac{1}{2} \, D \, y^{2}(t)=\frac{1}{2} \, D \, A^{2}

η αρχική εξίσωση γράφεται:

\frac{1}{2} \, 4 \, v(t)^{2}+\frac{1}{2} \, 100 \, y^{2}(t)=\frac{1}{2} \, 100 \, (0,5)^{2}

όπου: m=2, \,\, D=100, και A=0,5. Με λίγα λόγια, η αρχική διαφορική εξίσωση αναφέρεται σε αρμονικό ταλαντωτή του οποίου η απομάκρυνση συναρτήσει του χρόνου δίνεται από την εξίσωση: y(t)=A\sin(\omega t+ \phi_{0}), με \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5. Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες  y(0)=1/2 και v(0)=0 βρίσκουμε την αρχική φάση και η λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης θα είναι y(t)=0,5 \sin\left(5t+\frac{\pi}{2} \right) ή με τον αρχικό συμβολισμό:

f(x)=0,5 \sin\left(5x+\frac{\pi}{2} \right)

Ιδού λοιπόν μια δύσκολη διαφορική εξίσωση που λύνεται αμέσως αν αντιληφθούμε την σχέση της με την απλή αρμονική ταλάντωση.

Σε περίπτωση που δεν θυμόμαστε τις ταλαντώσεις, μπορούμε να απλοποιήσουμε την αρχική εξίσωση παραγωγίζοντας, παίρνοντας την:

f''(x)=-25\,f(x)

η οποία λύνεται ευκολότερα ως ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Ας σημειωθεί πως σύμφωνα με την προαναφερθείσα αντιστοιχία με την αρμονική ταλάντωση, η τελευταία εξίσωση εκφράζει την επιτάχυνση συναρτήσει της απομάκρυνσης – στην ουσία την αναγκαία συνθήκη για απλή αρμονική ταλάντωση

\Sigma F=m\,a(t)=-D \, y(t).

Δείτε την λύση που δίνει το wolframalpha: ΕΔΩ

διαβάστε επίσης: Διαφορικές εξισώσεις και αρχή διατήρησης ενέργειας



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες:

6 replies

  1. Στην αρχική εξίσωση διορθώστε το 25 με 12,5

  2. Δεν είχα δει την αβλεψία την οποία εντόπισαν συνάδελφοι. Υπήρξε απορία για τις αρχικές συνθήκες.
    Εξ’ άλλου στην λύση ήταν διορθωμένη.
    Μου αρέσει και η γενικότερη χρήση της διατήρησης της ενέργειας σε Δ.Ε. που γράφεται σε προηγούμενο άρθρο.

    • …δεν ξέρω ποιος χρησιμοποίησε για πρώτη φορά την διατήρηση της ενέργειας ως τεχνική επίλυσης ΔΕ. Εγώ πάντως το άκουσα για πρώτη φορά από τον μοναδικό Στέφανο Τραχανά.
      Σ’ ευχαριστώ ακόμη μια φορά για την αναδημοσίευση.

Γράψτε απάντηση στο physicsgg Ακύρωση απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: