Μια διαφορική εξίσωση για «θετικούς» μαθητές

Posted on 18/12/2019

6


Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f(x) που ικανοποιεί την εξίσωση

2[f'(x)]^{2}+50f^{2}(x)-12.5=0

αν f(0)=1/2 και f'(0)=0.

Απάντηση:

Η εξίσωση μπορεί με μια πρώτη ματιά να δείχνει περίεργη, όμως με λίγη φαντασία αποκτά «φυσικό» νόημα.
Αν και δεν είναι απαραίτητο, ας αλλάξουμε τον συμβολισμό θέτοντας όπου: f(x) \leftrightarrow y(t).
Aν η συνάρτηση y(t) θεωρηθεί ως η θέση ενός σώματος συναρτήσει του χρόνου, τότε η πρώτη παράγωγός της θα είναι η  ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου y'(t)=v(t).
Έτσι, έχοντας κατά νου την εξίσωση ολικής ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή:

K+U=E \Rightarrow \frac{1}{2} \, m \,v(t)^{2}+\frac{1}{2} \, D \, y^{2}(t)=\frac{1}{2} \, D \, A^{2}

η αρχική εξίσωση γράφεται:

\frac{1}{2} \, 4 \, v(t)^{2}+\frac{1}{2} \, 100 \, y^{2}(t)=\frac{1}{2} \, 100 \, (0,5)^{2}

όπου: m=2, \,\, D=100, και A=0,5. Με λίγα λόγια, η αρχική διαφορική εξίσωση αναφέρεται σε αρμονικό ταλαντωτή του οποίου η απομάκρυνση συναρτήσει του χρόνου δίνεται από την εξίσωση: y(t)=A\sin(\omega t+ \phi_{0}), με \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5. Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες  y(0)=1/2 και v(0)=0 βρίσκουμε την αρχική φάση και η λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης θα είναι y(t)=0,5 \sin\left(5t+\frac{\pi}{2} \right) ή με τον αρχικό συμβολισμό:

f(x)=0,5 \sin\left(5x+\frac{\pi}{2} \right)

Ιδού λοιπόν μια δύσκολη διαφορική εξίσωση που λύνεται αμέσως αν αντιληφθούμε την σχέση της με την απλή αρμονική ταλάντωση.

Σε περίπτωση που δεν θυμόμαστε τις ταλαντώσεις, μπορούμε να απλοποιήσουμε την αρχική εξίσωση παραγωγίζοντας, παίρνοντας την:

f''(x)=-25\,f(x)

η οποία λύνεται ευκολότερα ως ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Ας σημειωθεί πως σύμφωνα με την προαναφερθείσα αντιστοιχία με την αρμονική ταλάντωση, η τελευταία εξίσωση εκφράζει την επιτάχυνση συναρτήσει της απομάκρυνσης – στην ουσία την αναγκαία συνθήκη για απλή αρμονική ταλάντωση

\Sigma F=m\,a(t)=-D \, y(t).

Δείτε την λύση που δίνει το wolframalpha: ΕΔΩ

διαβάστε επίσης: Διαφορικές εξισώσεις και αρχή διατήρησης ενέργειας