Γιατί ο αριθμός e^π είναι υπερβατικός αριθμός

To 1934 oι Aleksandr Gelfond και Theodor Schneider έλυσαν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, το 7ο πρόβλημα του Hlbert, δηλαδή απέδειξαν ότι ο αριθμός ab είναι υπερβατικός, αν ο a είναι αλγεβρικός αριθμός διάφορος του μηδενός και της μονάδας, και ο b άρρητος αλγεβρικός αριθμός.

Υπενθυμίζεται ότι ένας μιγαδικός αριθμός ονομάζεται αλγεβρικός, αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές ρητούς αριθμούς. Υπερβατικός είναι ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι αλγεβρικός, δηλαδή δεν είναι ρίζα μη μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Οι πιο γνωστοί υπερβατικοί αριθμοί είναι ο π και ο e.

Tώρα, eπ = (eiπ)i=(1)–i

το –1 είναι αλγεβρικός διάφορος των 0 και 1.

το –i είναι άρρητος και αλγεβρικός αριθμός.

Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα Gelfond – Schneider ο αριθμός eπ είναι υπερβατικός.

Με το ίδιο σκεπτικό αποδεικνύεται ότι και ο αριθμός ii=eπ/2(βλέπε «Φανταστικά εκθετικά και η πιο όμορφη εξίσωση στον κόσμο«) είναι επίσης αλγεβρικός.



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: