Ποια χάντρα θα φτάσει πρώτη στο τέρμα;

(νεώτερη ενημέρωση 14/12/2019)

Δυο όμοιες τρύπιες χάντρες είναι περασμένες στα δύο λεία σύρματα του σχήματος. Το επίπεδο του ημικυκλικού σύρματος είναι κατακόρυφο. Δίδεται ότι  g = 10 m/s2.


(πηγή: Γιάννης Κυριακόπουλος, «Ένα δύσκολο κουίζ» από το ylikonet.gr)

Απάντηση: δεν γνωρίζουμε διότι τα χρονικά διαστήματα εξαρτώνται από την αρχική ταχύτητα.

Έστω υ η ταχύτητα της πράσινης χάντρας του ημικυκλίου σε μια τυχαία θέση, όπου η επιβατική ακτίνα της σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη διεύθυνση. Από την αρχή διατήρησης ενέργειας θα έχουμε: \frac{1}{2}mv_{0}^{2}+mgR \cos\theta=\frac{1}{2}mv^{2} ή v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gR \cos \theta}. Aλλά  v=R\omega =R d\theta/dt, οπότε dt= \frac{Rd\theta}{\sqrt{v_{0}^{2}+2gR \cos \theta}} και ο χρόνος που απαιτείται για να διασχίσει η πράσινη χάντρα το ημικύκλιο είναι: t_{\pi\rho} =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2R}{v_{0}} \frac{d\theta}{2\sqrt{1+2gR\cos\theta/v_{0}^{2}}}. Εφόσον o χρόνος για την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση της κόκκινης χάντρας είναι t_{\varkappa o \varkappa}=\frac{2R}{v_{0}}, o λόγος των χρόνων \lambda =  t_{\pi\rho} /  t_{\varkappa o \varkappa}, θα υπολογίζεται ως συνάρτηση της αρχικής ταχύτητας (για R=10m και g=10m/s2)από την εξίσωση:

\lambda(v_{0}) =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{d\theta}{2\sqrt{1+200\cos\theta/v_{0}^{2}}}

H γραφική παράσταση του λόγου λ ως προς την αρχική ταχύτητα είναι:
Παρατηρούμε ότι για υ0≈8,64m/s είναι λ=1, δηλαδή οι χρόνοι είναι ίδιοι. Όταν υ0<8,64m/s είναι λ<1 και ο χρόνος της πράσινης μικρότερος, ενώ όταν υ0>8,64m/s είναι λ>1 και ο χρόνος της πράσινης μεγαλύτερος.

Γενικότερα, οι χρόνοι είναι ίσοι (λ=1) όταν v_{0} \cong 0,864 \sqrt{gR} και για υ0→∞ ισχύει λ=π/2.

Αξίζει να δούμε μαζί τις γραφικές παραστάσεις των χρονικών διαστημάτων πράσινης και κόκκινης χάντρας, συναρτήσει της αρχικής ταχύτητας υ0 (για R=10m, g=10m/s2)

Εδώ φαίνεται πιο καθαρά πως όταν η ταχύτητα τείνει στο μηδέν, το χρονικό διάστημα της κόκκινης χάντρας τείνει στο άπειρο (αφού δεν θα ξεκινήσει ποτέ με μηδενική ταχύτητα), ενώ ο χρόνος της πράσινης χάντρας ισούται με την ημι-περίοδο του απλού εκκρεμούς, όταν η αρχική γωνία ταλάντωσης είναι π/2.



Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες:

3 replies

  1. Ευχαριστώ για την τιμητική δημοσίευση.
    Η παρουσίαση είναι πολύ καλύτερη από τη δική μου, ιδίως διότι βρίσκει την ταχύτητα-όριο.

    • Όλοι όσοι ασχολούμαστε με τη φυσική πρέπει να σε ευχαριστούμε …
      Εύχομαι καλή συνέχεια σε σένα και όλους όσους μοιράζονται την δουλειά τους στο δίκτυο του υλικονετ.

  2. πολύ καλο !!

Γράψτε απάντηση στο George Verop Ακύρωση απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: