Ποια χάντρα θα φτάσει πρώτη στο τέρμα;

Posted on 13/12/2019

3


(νεώτερη ενημέρωση 14/12/2019)

Δυο όμοιες τρύπιες χάντρες είναι περασμένες στα δύο λεία σύρματα του σχήματος. Το επίπεδο του ημικυκλικού σύρματος είναι κατακόρυφο. Δίδεται ότι  g = 10 m/s2.


(πηγή: Γιάννης Κυριακόπουλος, «Ένα δύσκολο κουίζ» από το ylikonet.gr)

Απάντηση: δεν γνωρίζουμε διότι τα χρονικά διαστήματα εξαρτώνται από την αρχική ταχύτητα.

Έστω υ η ταχύτητα της πράσινης χάντρας του ημικυκλίου σε μια τυχαία θέση, όπου η επιβατική ακτίνα της σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη διεύθυνση. Από την αρχή διατήρησης ενέργειας θα έχουμε: \frac{1}{2}mv_{0}^{2}+mgR \cos\theta=\frac{1}{2}mv^{2} ή v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gR \cos \theta}. Aλλά  v=R\omega =R d\theta/dt, οπότε dt= \frac{Rd\theta}{\sqrt{v_{0}^{2}+2gR \cos \theta}} και ο χρόνος που απαιτείται για να διασχίσει η πράσινη χάντρα το ημικύκλιο είναι: t_{\pi\rho} =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2R}{v_{0}} \frac{d\theta}{2\sqrt{1+2gR\cos\theta/v_{0}^{2}}}. Εφόσον o χρόνος για την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση της κόκκινης χάντρας είναι t_{\varkappa o \varkappa}=\frac{2R}{v_{0}}, o λόγος των χρόνων \lambda =  t_{\pi\rho} /  t_{\varkappa o \varkappa}, θα υπολογίζεται ως συνάρτηση της αρχικής ταχύτητας (για R=10m και g=10m/s2)από την εξίσωση:

\lambda(v_{0}) =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{d\theta}{2\sqrt{1+200\cos\theta/v_{0}^{2}}}

H γραφική παράσταση του λόγου λ ως προς την αρχική ταχύτητα είναι:
Παρατηρούμε ότι για υ0≈8,64m/s είναι λ=1, δηλαδή οι χρόνοι είναι ίδιοι. Όταν υ0<8,64m/s είναι λ<1 και ο χρόνος της πράσινης μικρότερος, ενώ όταν υ0>8,64m/s είναι λ>1 και ο χρόνος της πράσινης μεγαλύτερος.

Γενικότερα, οι χρόνοι είναι ίσοι (λ=1) όταν v_{0} \cong 0,864 \sqrt{gR} και για υ0→∞ ισχύει λ=π/2.

Αξίζει να δούμε μαζί τις γραφικές παραστάσεις των χρονικών διαστημάτων πράσινης και κόκκινης χάντρας, συναρτήσει της αρχικής ταχύτητας υ0 (για R=10m, g=10m/s2)

Εδώ φαίνεται πιο καθαρά πως όταν η ταχύτητα τείνει στο μηδέν, το χρονικό διάστημα της κόκκινης χάντρας τείνει στο άπειρο (αφού δεν θα ξεκινήσει ποτέ με μηδενική ταχύτητα), ενώ ο χρόνος της πράσινης χάντρας ισούται με την ημι-περίοδο του απλού εκκρεμούς, όταν η αρχική γωνία ταλάντωσης είναι π/2.

Posted in: ΜΗΧΑΝΙΚΗ