Δυο άστρα σε τροχιά το ένα γύρω από το άλλο

Posted on 04/12/2019

0



Θεωρούμε ένα απομονωμένο σύστημα δυο άστρων ή ένα άστρο και τον μοναδικό πλανήτη του, που υπόκεινται μόνο στην βαρυτική αλληλεπίδρασή τους. Η εξισώσεις κίνησης για κάθε σώμα σε σχέση με αδρανειακό παρατηρητή  Ο θα είναι: M_{1} d\vec{v}_{1}/dt=\vec{F}_{12} και  M_{2} d\vec{v}_{2}/dt=\vec{F}_{21} ή

\frac{d\vec{v}_{1}}{dt}=\frac{\vec{F}_{12}}{M_{1}} και \frac{d\vec{v}_{2}}{dt}=\frac{\vec{F}_{21}}{M_{2}}

Aφαιρώντας τις εξισώσεις και χρησιμοποιώντας τον 3ο νόμο του Newton, \vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}, παίρνουμε: \frac{d^{2}(\vec{R}_{1} - \vec{R}_{2})}{dt^{2}}=\vec{F}_{12}\left(\frac{1}{M_{1}}+\frac{1}{M_{2}}\right) ή

\vec{F}_{12}= \mu \frac{d^{2}\vec{R}}{dt^{2}}    (1)

όπου, \vec{R} = \vec{R}_{1} - \vec{R}_{2} η σχετική θέση μεταξύ των σωμάτων και \mu=\frac{M_{1} M_{2}}{M_{1}+M_{2}} η ανηγμένη μάζα (Για να περιγράψουμε την κίνηση δυο σωμάτων κάτω από την αμοιβαία αλληλεπίδρασή τους, μπορούμε να ξεχωρίσουμε την κίνηση του συστήματος στην κίνηση του κέντρου μάζας, του οποίου η ταχύτητα είναι σταθερή και τη σχετική κίνηση των δυο σωμάτων που μας δίνει η εξ. (1), η οποία αναφέρεται σε ένα σύστημα αναφοράς που βρίσκεται πάνω στο κέντρο μάζας τους).
H στροφορμή του συστήματος είναι d\vec{L}/dt=\vec{R}\times\vec{p}=\vec{R} \times \mu d\vec{R}/dt, και ο ρυθμός μεταβολής στροφορμής: d\vec{L} /dt =d\vec{R}/dt \times \mu d\vec{R}/dt + \vec{R} \times \mu d^{2} \vec{R}/dt^{2}=\vec{R} \times \vec{F}_{12}. Όμως η δύναμη δρα κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα δυο σώματα, οπότε \vec{R} \times \vec{F}_{12}=0 και η στροφορμή του συστήματος θα είναι σταθερή και κάθετη στα \vec{R} και d\vec{R}/dt.
Έτσι, δυο σώματα σε τροχιά το ένα γύρω από το άλλο θα κινούνται πάνω σε ένα επίπεδο (ως προς το σύστημα κέντρου μάζας).

μουσική επένδυση: «All the Things You Are» , Helen Forrest, Artie Shaw and His Orchestra