Υπολογισμός ολοκληρωμάτων «με τον τρόπο του Feynman»

Posted on 28/11/2019

0


«(…) Είχα μάθει να υπολογίζω ολοκληρώματα με διάφορες μεθόδους από ένα βιβλίο το οποίο μου είχε δώσει κάποιος καθηγητής φυσικής στο λύκειο, ο κύριος Bader. Θυμάμαι ότι εκείνη τη φορά μου ζήτησε να παραμείνω στην τάξη μετά το μάθημα: «Feynamn, μιλάς πολύ και κάνεις φασαρία. Ξέρω γιατί. Πλήττεις! Γι’ αυτό θα σου δώσω ένα βιβλίο. Θα κάθεσαι εκεί πίσω στη γωνία και θα το μελετάς. Μόνο όταν θα έχεις μάθει όλα όσα λέει θα ξαναμιλήσεις».
Έτσι, σε κάθε μάθημα φυσικής δεν έδινα σημασία στο νόμο του Pascal ή σε οτιδήποτε άλλο έλεγαν, αλλά καθόμουν και διάβαζα τον απειροστικό λογισμό του Woods(1). O καθηγητής μου ήξερε ότι ήδη είχα διαβάσει τον Απειροστικό λογισμό για τον πρακτικό άνθρωπο, και έτσι μου έδωσε το κολεγιακού επιπέδου βιβλίο. Περιείχε τις σειρές Fourier, τις συναρτήσεις Bessel, ορίζουσες, ελλειπτικές συναρτήσεις – όλα εκείνα τα πράγματα που αγνοούσα.
Το βιβλίο αυτό εξηγούσε επίσης πως να παραγωγίζεις παραμετρικά μέσα από ολοκλήρωμα – μια μέθοδος η οποία μάλλον δεν διδάσκεται πολύ στα πανεπιστήμια. Εγώ όμως έμαθα να τη χρησιμοποιώ, και μάλιστα μου έγινε απαραίτητο εργαλείο. Ως αυτοδίδακτος λοιπόν μαθηματικός, χάρη σε εκείνο το βιβλίο έμαθα να ακολουθώ δικές μου μεθόδους ολοκλήρωσης.
Αργότερα στο ΜΙΤ και στο Πρίνστον, όταν οι συνάδελφοί μου δυσκολεύονταν να βρουν ένα ολοκλήρωμα ήμουν σίγουρος ότι αυτό δεν μπορούσε να υπολογιστεί με τις μεθόδους που είχαν διδαχτεί. Διότι, αν χρειάζονταν επικαμπύλια ολοκλήρωση, θα το είχαν καταλάβει. Αν χρειάζονταν ανάπτυγμα σε σειρά, πάλι θα το είχαν καταλάβει. Έτσι, λοιπόν, όταν μου ζητούσαν να τους βοηθήσω, ξεκινούσα την παραγώγιση μέσα στο ολοκλήρωμα, και συνήθως τα κατάφερνα. Τελικά απέκτησα τη φήμη ότι ήμουν άπιαστος στο να υπολογίζω ολοκληρώματα. Στην πραγματικότητα, αυτό οφειλόταν στο ότι διέθετα μια εργαλειοθήκη διαφορετική από όλους τους άλλους, και όσοι αντιμετώπιζαν προβλήματα έρχονταν σε μένα όταν η δική τους είχε αποτύχει.»
(Richard P. Feynman. «Σίγουρα θα αστειεύεστε κύριε Feynman», μετάφραση και επιστημονική επιμέλεια Ευάγγελος Βιτωράτος, εκδόσεις κάτοπτρο)

(1) μπορείτε να κατεβάσετε τον απειροστικό λογισμό του Woods πατώντας ΕΔΩ: Advanced Calculus, Frederick S. Woods

H μέθοδος Feynman μπορεί να εφαρμοστεί για παράδειγμα στο παρακάτω ολοκλήρωμα που είδαμε στο twitter(!):

I=\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta} \cos(\sin\theta)d\theta

Δεδομένου ότι  αλλαγή μεταβλητής y=\sin\theta μάλλον περιπλέκει περισσότερο τα πράγματα … ας θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα: I(a)=\int_{0}^{2\pi} e^{a\cos \theta} \cos(a\sin\theta)d\theta
Παραγωγίζουμε ως προς a:
\frac{\partial I}{\partial a} =\int\limits_{0}^{2\pi} e^{a\cos \theta} \left[\cos\theta cos(a\sin\theta)-\sin\theta \sin(a\sin\theta) \right]d\theta = \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{a} \frac{d}{d\theta}\left[ e^{a\cos \theta}\sin(a\sin\theta) \right] d\theta
=\left[\frac{1}{a}e^{a\cos\theta}\sin(a\sin\theta)\right]_{0}^{2\pi} =0
Βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα Ι(α) είναι ανεξάρτητο από την τιμή της παραμέτρου α! Αν επιλέξουμε την τιμή α=0 προκύπτει ότι: I(0)=\int_{0}^{2\pi} 1d\theta =2\pi=I(a) , κάθε τιμή του α! Επομένως για α=1 παίρνουμε την τιμή του αρχικού ολοκληρώματος:

I=I(1)=\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta} \cos(\sin\theta)d\theta=2\pi .

διαβάστε επίσης:
1. Advanced Calculus, Frederick S. Woods, σελ.143
2. Leibniz Integral Rule
3. Richard Feynman’s Integral Trick