Ένα πρόβλημα ανελαστικής κρούσης

Posted on 26/11/2019

2


Ένα σώμα μάζας m1=2kg που κινείται με ταχύτητα υ1=5m/s συγκρούεται με ακίνητο σώμα μάζας m2=3kg. Οι δυο μάζες είναι κατασκευασμένες από πηλό και μετά την κρούση προκύπτουν δυο σώματα με μάζες  m3=1kg και m4=4kg. Η ταχύτητα της μάζας m3 μετά την κρούση σχηματίζει γωνία θ=60ο με την διεύθυνση της αρχικής ταχύτητας υ1. Αν είναι γνωστό ότι κατά τη διάρκεια της κρούσης παράγεται θερμική ενέργεια Q=13,1J, να υπολογίσετε τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση.

Λύση:
Εφαρμόζουμε την Aρχή Διατήρησης της Ορμής
στον άξονα x: m_{1}v_{1} = m_{3}v_{3}\cos\theta +m_{4}v_{4}\cos\phi (1),
και στον άξονα ψ: m_{3}v_{3}\sin\theta = m_{4}v_{4}\sin\phi (2)
Η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας δίνει την εξίσωση: \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}= \frac{1}{2}m_{3}v_{3}^{2} + \frac{1}{2}m_{4}v_{4}^{2}+Q (3)
Από την εξ. (1) έχουμε m_{4}^{2}v_{4}^{2}\cos^{2}\phi=(m_{3}v_{3}\cos\theta - m_{1}v_{1})^{2} και από την εξ. (2) m_{4}^{2}v_{4}^{2}\sin^{2}\phi = m_{3}^{2}v_{3}^{2}\sin^{2}\theta. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δυο τελευταίες εξισώσεις, λύνουμε ως προς v_{4} και αντικαθιστούμε στην εξ. (3).
Έτσι, προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς v_{3},
m_{3}(m_{3}+m_{4})v_{3}^{2}-2m_{1}m_{3}v_{1}\cos\theta \, v_{3} + m_{1} (-m_{4}+m_{1})v_{1}^{2}+2m_{4}Q=0  (4)

Aντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε: 5v_{3}^{2}-10v_{3}+4,8=0, οπότε έχουμε δυο θετικές τιμές:
v_{3}=1,2m/s και v_{3}'=0,8m/s.

  • Για v_{3}=1,2m/s προκύπτει v_{4}=2,364m/s και \phi=6,31^{o}
  • Για v_{3}=0,8m/s προκύπτει v_{4}=2,406m/s και \phi=4,13^{o}

Ποιο από τα δυο ζεύγη των λύσεων θα γίνει δεκτό; Και τα δύο!

Διερεύνηση

Η εξ. (4) μπορεί να έχει μια, δυο ή και καμία ρίζα. Για να έχει λύσεις η εξ. (4) θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι θετική. Αυτό σημαίνει πως για να πραγματοποιηθεί μια τέτοια κρούση πρέπει η αρχική κινητική ενέργεια της m1 να είναι:

K_{1} \geq \frac{Q \, m_{4} (m_{3}+ m_{4})}{m_{1}m_{3} \cos^{2} \theta + (m_{3}+m_{4})(m_{4}-m_{1})}

Για θ=0 ισχύει, K_{1} \geq \frac{Q \, (m_{4}+m_{3})}{m_{4}+m_{3}-m_{1}}.

Για να προκύπτουν δυο δεκτές λύσεις πρέπει: K_{1} \leq \frac{Q \, m_{4}}{m_{4}-m_{1}}. To να έχουμε δυο λύσεις είναι ένα συνηθισμένο φαινόμενο που παρατηρείται στις πυρηνικές αντιδράσεις: να προκύπτουν δηλαδή δυο ομάδες σωματιδίων, με διαφορετικές ταχύτητες η κάθε μία, σε συγκεκριμένη γωνία θ ως προς την διεύθυνση της αρχικής δέσμης σωματιδίων. Επιπλέον, αν πρόκειται για πυρηνικές αντιδράσεις χαμηλών ενεργειών ισχύουν ως έχουν όλες οι παραπάνω εξισώσεις.

Posted in: ΜΗΧΑΝΙΚΗ