Η σχέση συχνότητας και ενέργειας ταλάντωσης ενός σώματος

Posted on 23/11/2019

0


… του οποίου η μάζα αυξάνεται με διακριτό τρόπο

Ένα άδειο δοχείο μάζας Μ που συνδέεται με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A0 σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι Ε0=1J και η συχνότητα ταλάντωσης f0=1Hz.
Από κάποια χρονική στιγμή και μετά η μάζα του δοχείου αυξάνεται διαδοχικά κατά Δm κάθε φορά που το σώμα διέρχεται από την θέση ισορροπίας και από τις ακραίες θέσεις. Η αύξηση της μάζας προκύπτει με πλαστική κρούση μεταξύ του δοχείου Μ και των μικρών μαζών Δm που πέφτουν κατακόρυφα από κατάλληλο ύψος.

Οι πλαστικές κρούσεις μεταξύ του δοχείου και των μαζών Δm πραγματοποιούνται σε αμελητέο χρονικό διάστημα (τις χρονικές στιγμές που το δοχείο διέρχεται από την θέση ισορροπίας x=0 και τις ακραίες θέσεις x=±A). Έστω Εn και fn, η ενέργεια και η συχνότητα του ταλαντωτή αντίστοιχα, μετά την n-στή πλαστική κρούση.
Μετά από πάρα πολλές διαδοχικές αυξήσεις μάζας (n→∞):
Α.  Να δείξετε ότι η ενέργεια και η συχνότητα του ταλαντωτή συνδέονται με την σχέση:
Εn=h fn, όπου ο συντελεστής h γράφεται ως h=\frac{\Gamma(u+\frac{1}{2})}{\sqrt{u} \,  \Gamma(u)} με  u=\frac{M}{2\Delta{m}}, εφόσον η πρώτη αύξηση μάζας γίνεται όταν o ταλαντωτής διέρχεται από τη θέση ισορροπίας.
Β. Αν η πρώτη αύξηση μάζας γίνεται όταν o ταλαντωτής διέρχεται από μια ακραία θέση τότε να δείξετε ότι: Εn =h’fn, όπου h’=1/h.
εφαρμογή 1. Στην περίπτωση που Δm/Μ→0, ισχύει h=h’=Ε0/h0=1J·s
εφαρμογή 2. Στην περίπτωση που Δm/Μ=1, ισχύει h≈0,8 J·s και h’≈1,25 J·s

η λύση βρίσκεται ΕΔΩ