Πότε θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα;

Posted on 29/10/2019

6


Τα άκρα ευθύγραμμου αγωγού, ο οποίος έχει μήκος ℓ=1 m, μάζα m=1 Kg και αντίσταση R1=0,05 Ω, μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβές πάνω σε δύο κατακόρυφους μεταλλικούς στύλους μηδενικής ωμικής αντίστασης. Οι δύο στύλοι ενώνονται στο επάνω μέρος με σύρμα ωμικής αντίστασης R2=0,15 Ω. Η όλη διάταξη βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β=1 T, το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν ο αγωγός και η ταχύτητά του. Αρχικά ο αγωγός είναι ακίνητος. Την χρονική στιγμή t=0 αφήνεται να ολισθήσει.
Κάποιος ισχυρίζεται πως ο αγωγός θα αποκτήσει οριακή (σταθερή) ταχύτητα όταν θα έχει πέσει κατά h=2 m. Έχει δίκιο;
Δίνεται g = 10 m/s2.

απάντηση:
Αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή Ɛεπ=Βυℓ και το κύκλωμα διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα Ι=Βυℓ/Rολ. Στον αγωγό ασκούνται δυο δυνάμεις, το βάρος του και η δύναμη Laplace, έτσι ώστε: mg–BIℓ=mdυ/dt ή dt=\frac{dv}{g-\frac{B^{2}\ell^{2}}{mR_{o\lambda}}v}.
Θέτουμε \tau=\frac{mR_{o\lambda}}{B^{2}\ell^{2}} (έχει διαστάσεις χρόνου) και ολοκληρώνοντας \int_{0}^{t} dt = \int_{0}^{v}\frac{(-\tau) d(g-\frac{v}{\tau})}{g-\frac{v}{\tau}} παίρνουμε:
v=\frac{mgR_{o\lambda}}{B^{2}\ell^{2}}(1-e^{-t/\tau})=v_{o\rho}(1-e^{-t/\tau}), όπου v_{o\rho}=\frac{mgR_{o\lambda}}{B^{2}\ell^{2}}, η σταθερή ταχύτητα που αποκτά ο αγωγός μετά από αρκετό χρόνο – θεωρητικά όταν t \rightarrow \infty.

Ο αγωγός σε χρόνο t διανύει απόσταση x=\int_{0}^{t}vdt=\int_{0}^{t}v_{o\rho}(1-e^{-t/\tau})dt=v_{o\rho}t-v_{o\rho}\tau+v_{o\rho}\tau e^{-t/\tau}.

Η αριθμητική αντικατάσταση δίνει \tau=\frac{mR_{o\lambda}}{B^{2}\ell^{2}}=0,2s, v_{o\rho}=\frac{mgR_{o\lambda}}{B^{2}\ell^{2}}=2\frac{m}{s} και
x=2t-0,4+0,4 e^{-5t}. Η τελευταία εξίσωση θα μας δώσει τον χρόνο που απαιτείται ώστε ο αγωγός να διανύσει απόσταση x=h=2m.

Προκύπτει η εξίσωση 2,4=2t+0,4 e^{-5t}, η οποία αν λυθεί αριθμητικά, δίνει: t≈1,1995s. Αυτή τη χρονική στιγμή η ταχύτητα του αγωγού είναι: υ=1,995m/s σχεδόν ίση με την υοριακή=2m/s. Πράγματι λοιπόν, μπορεί κάποιος να ισχυριστεί με πολύ καλή ακρίβεια πως ο αγωγός μετά από πτώση h=2m έχει αποκτήσει σταθερή ταχύτητα. Παρατηρείστε επίσης ότι  t=1,1995s≈6τ, δηλαδή ικανοποιείται το κριτήριο των 5τ. Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό, τα μεγέθη που αυξάνονται όπως η ταχύτητα στο εν λόγω πρόβλημα v=v_{o\rho}(1-e^{-t/\tau}), θεωρείται πως παίρνουν πρακτικά την μέγιστη τιμή τους (υ=0,993υορ) σε χρόνο 5τ.