H δύναμη Lorentz και το φαινόμενο της επαγωγής σε κινούμενο αγωγό

Posted on 07/09/2019

0


Ένα πρόβλημα (χωρίς πολλά μαθηματικά, αλλά με απλή και ουσιαστική φυσική) στο πλαίσιο της νέας ύλης του ηλεκτρομαγνητισμού που θα διδαχθεί φέτος στην Γ’ Λυκείου:

A. Είναι γνωστό από την θεωρία πως ένας ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός μήκους Δx που βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β, κάθετα στις δυναμικές γραμμές του πεδίου, δέχεται δύναμη Laplace μέτρου F = B·I· Δx, όπου Ι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό.
Το ηλεκτρικό ρεύμα στο εσωτερικό του αγωγού οφείλεται στην κίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Υποθέστε ότι τα ηλεκτρόνια κινούνται με σταθερή ταχύτητα υ κατά μήκος του αγωγού. Δεδομένου ότι η δύναμη Laplace είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που το μαγνητικό πεδίο ασκεί στα κινούμενα ηλεκτρόνια, να δείξετε ότι το μέτρο της δύναμης που ασκείται σε κάθε κινούμενο ηλεκτρόνιο είναι:

FL=Bυqe

όπου qe το φορτίο του ηλεκτρονίου. (H δύναμη που δέχεται κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο σε μαγνητικό πεδίο ονομάζεται δύναμη Lorentz).
B. Μια μεταλλική ράβδος μήκους L κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β, με ταχύτητα υ που είναι κάθετη στον άξονά της και κάθετη στις δυναμικές γραμμές του ομογενούς μαγνητικού πεδίου όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Να δείξετε ότι στη ράβδο αναπτύσσεται ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή που υπολογίζεται από την εξίσωση:

Εεπ=ΒυL

 

Απάντηση:
Α. Έστω Ν ο αριθμός των ηλεκτρονίων που διέρχονται από μια τομή του αγωγού σε χρονικό διάστημα Δt. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό είναι: Ι=ΔQ/Δt=(Ν·qe)/Δt και η δύναμη Laplace θα είναι F = B·I·Δx=Ν·Β· qe·(Δx/Δt)=N(Bυqe). Eπομένως η δύναμη που δέχεται κάθε ηλεκτρόνιο είναι FL=Bυqe  (1)
Β. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού δέχονται δύναμη FL = Bυqe και φορτίζουν αρνητικά το πάνω άκρο της ράβδου, ενώ το κάτω άκρο φορτίζεται θετικά (παρόμοια δύναμη δέχονται και τα ιόντα της ράβδου που θα προκύψουν από την μετακίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων, αλλά αυτά παραμένουν ακλόνητα στο μεταλλικό πλέγμα). Με την διαδικασία αυτή στο εσωτερικό της ράβδου δημιουργείται ομογενές ηλεκτρικό πεδίο (κάτι ανάλογο με τον φορτισμένο πυκνωτή). Το ηλεκτρικό πεδίο με τη σειρά του ασκεί σε κάθε ελεύθερο ηλεκτρόνιο δύναμη FΕ=Eqe, όπου Ε η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Όμως η δημιουργία ηλεκτρικού πεδίου συνεπάγεται την εμφάνιση διαφοράς δυναμικού Vεπ=Ε·L, oπότε
FΕ = (Vεπ/L)qe   (2)
Καθώς όλο και περισσότερα ηλεκτρόνια συσσωρεύονται στο πάνω άκρο της ράβδου, η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου αυξάνεται συνεχώς προκαλώντας αύξηση της δύναμης FΕ. Όπως βλέπουμε και στο σχήμα η δύναμη FΕ αντιτίθεται στην κίνηση των ηλεκτρονίων προς το πάνω μέρος της ράβδου. Έτσι, σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα οι δυνάμεις FΕ και FL αποκτούν ίσα μέτρα, οπότε σταματάει η κίνηση των ηλεκτρονίων και η χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει η διαφορά δυναμικού Vεπ μεταξύ των άκρων της ράβδου:  Vεπ=ΒυL
H ράβδος συμπεριφέρεται ως ηλεκτρική πηγή με ηλεκτρεγερτική δύναμη Εεπ=Vεπ=ΒυL και αν τα άκρα της συνδεθούν με αγωγό, ώστε να σχηματιστεί κλειστό κύκλωμα, αυτό θα διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα.

 

πηγή: Φυσική Γ’ Λυκείου, Βλάχος Ι.- Ζάχος Κ. – Κόκκοτας Π. – Τιμοθέου Γ., Ο.Ε.Δ.Β., 1984(;)