Η σχετικότητα των ηλεκτρικών και των μαγνητικών πεδίων

Posted on 08/07/2019

0


lorentz forceH δύναμη που δέχεται ένα ηλεκτρικό φορτίο σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο δεν εξαρτάται μόνο από τη θέση του φορτίου στο χώρο αλλά και από την ταχύτητά του:

\vec{F}=q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B}

όπου \vec{E} η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και \vec{ B } η ένταση του μαγνητικού πεδίου. Η δύναμη αυτή είναι γνωστή ως δύναμη Lorentz.
Ο πρώτος όρος εκφράζει την δύναμη από το ηλεκτρικό πεδίο και ο δεύτερος όρος εκφράζει την δύναμη από το μαγνητικό πεδίο, την γνωστή δύναμη Laplace που εξαρτάται από την ταχύτητα του ηλεκτρικού φορτίου.
To ερώτημα που προκύπτει είναι: “Ποια ταχύτητα και ως προς ποιο σύστημα αναφοράς;»
Σε αντίθεση με την Νευτώνεια μηχανική, η κλασική ηλεκτροδυναμική είναι συμβατή με την Ειδική Σχετικότητα. Οι εξισώσεις Maxwell και ο νόμος της δύναμης Lorentz μπορούν να εφαρμοστούν σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Μπορεί οι ερμηνείες που δίνουν οι διάφοροι αδρανειακοί παρατηρητές για τον ηλεκτρικό ή μαγνητικό χαρακτήρα των φαινομένων να μην συμπίπτουν μεταξύ τους, όμως όλες οι προβλέψεις τους για τις κινήσεις των διαφόρων σωματιδίων συμφωνούν μεταξύ τους.
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα.

Έστω ένα αρνητικό ηλεκτρικό φορτίο κινείται με ταχύτητα v παράλληλα προς ρευματοφόρο αγωγό, ίση με την ταχύτητα των ηλεκτρονίων v στο εσωτερικό του αγωγού, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η αλληλεπίδραση ενός ρευματοφόρου αγωγού με ένα φορτισμένο σωματίδιο q όπως γίνεται αντιληπτή από δυο συστήματα αναφοράς. Στο σύστημα S (σχήμα α) ο αγωγός βρίσκεται σε ηρεμία, ενώ στο σύστημα S’ (σχήμα b) το φορτίο βρίσκεται σε ηρεμία.

Θα υπολογίσουμε τη δύναμη που ασκείται στο ηλεκτρικό φορτίο (α) ως προς το σύστημα αναφοράς S που είναι ακίνητο ως προς τον αγωγό και (β) ως προς το σύστημα αναφοράς S’ στο οποίο το αρνητικό φορτίο φαίνεται ακίνητο – το σύστημα S’ κινείται με σχετική ταχύτητα υ ως προς το S.

Στο σύστημα S το σωματίδιο δέχεται μαγνητική δύναμη από το μαγνητικό πεδίο του ρευματοφόρου αγωγού.
Όμως ως προς το σύστημα S’ το φορτίο είναι ακίνητο, συνεπώς δεν ασκείται σ’ αυτό μαγνητική δύναμη. Θα παραμείνει το φορτίο στη θέση του; Τελικά, συμβαίνουν διαφορετικά στα δυο συστήματα αναφοράς;
Η αρχή της σχετικότητας μας λέει πως και στο σύστημα S’ θάπρεπε το φορτισμένο σωματίδιο να πλησιάζει τον αγωγό. Πως όμως θα μπορούσε να αιτιολογήσει κάτι τέτοιο ο παρατηρητής του S’;

Ας δούμε πρώτα τι συμβαίνει στο εσωτερικό του ρευματοφόρου αγωγού. Σε έναν συνηθισμένο αγωγό (π.χ. από χαλκό), τα ηλεκτρικά ρεύματα προέρχονται από την κίνηση ορισμένων από τα αρνητικά ηλεκτρόνια – που ονομάζονται ηλεκτρόνια αγωγιμότητας – ενώ τα θετικά φορτία του πυρήνα και τα υπόλοιπα ηλεκτρόνια παραμένουν στις θέσεις τους μέσα στο υλικό. Συμβολίζουμε με ρ την πυκνότητα των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας και την ταχύτητά τους στο σύστημα S με v. H πυκνότητα των φορτίων σε ηρεμία στο σύστημα S είναι ίση με ρ+ και θα πρέπει να είναι ίση με την αρνητική τιμή της πυκνότητας ρ διότι ο αγωγός συνολικά είναι ηλεκτρικά ουδέτερος.
Έτσι δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο στο εξωτερικό του αγωγού, συνεπώς η δύναμη επί του κινούμενου φορτισμένου σωματιδίου θα ισούται με: \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}.
Η δύναμη έχει κατεύθυνση κάθετη προς τον αγωγό (σύμφωνα με τον κανόνα των τριών δακτύλων).
H ένταση του μαγνητικού πεδίου σε απόσταση r από τον αγωγό θα είναι B = k_{m} \frac{2I}{r}, όπου Ι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό, k_{m} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} και η δύναμη που ασκείται στο κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο θα είναι: F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{2 I q v}{r}
H ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος γράφεται I = \rho_{-} v A, όπου Α είναι το εμβαδόν διατομής του αγωγού, οπότε:

F=\frac{q}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\rho_{-} A }{r} \frac{v^{2}}{c^{2}}      (1)

Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει στο σύστημα S’ ως προς το οποίο το σωματίδιο βρίσκεται σε ηρεμία και ο αγωγός διαρρέεται από ρεύμα (με φορά προς το αριστερό μέρος του σχήματος) με ταχύτητα υ. To ηλεκτρικό ρεύμα των θετικών φορτίων στον αγωγό θα δημιουργήσει μαγνητικό πεδίο. Όμως το σωματίδιο είναι ακίνητο, οπότε δεν δέχεται μαγνητική δύναμη! Αν υπάρχει η οποιαδήποτε δύναμη στο σωματίδιο πρέπει να οφείλεται σε ένα ηλεκτρικό πεδίο. Θα πρέπει ο κινούμενος αγωγός να δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο. Αλλά αυτό μπορεί να συμβαίνει μόνο αν ο αγωγός εμφανίζεται να είναι φορτισμένος. Που σημαίνει ότι ένας ηλεκτρικά ουδέτερος ρευματοφόρος αγωγός εμφανίζεται φορτισμένος όταν τίθεται σε κίνηση.

Κι αυτό θα μελετήσουμε στη συνέχεια.

Θα υπολογίσουμε την πυκνότητα φορτίου στον αγωγό στο σύστημα S’ με βάση τις πληροφορίες που έχουμε για το σύστημα S. Θα μπορούσε να πει κανείς ότι οι πυκνότητα φορτίου είναι ίδια σε κάθε σύστημα, όμως γνωρίζουμε ότι τα μήκη μεταβάλλονται ανάμεσα στα συστήματα S και S’, οπότε και οι όγκοι θα είναι διαφορετικοί. Εφόσον οι πυκνότητες του ηλεκτρικού φορτίου εξαρτώνται από τους όγκους που καταλαμβάνουν τα φορτία, συμπεραίνουμε ότι μεταβάλλονται και οι πυκνότητες.

Πριν υπολογίσουμε την πυκνότητα φορτίου στο S’ θα πρέπει να γνωρίζουμε τι συμβαίνει στο ηλεκτρικό φορτίο μιας δέσμης ηλεκτρονίων όταν τα φορτία μετακινούνται. Γνωρίζουμε ότι η φαινόμενη μάζα ενός σωματιδίου αλλάζει κατά έναν παράγοντα 1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}. Συμβαίνει κάτι παρόμοιο με το ηλεκτρικό φορτίο; Όχι! Τα φορτία είναι πάντοτε τα ίδια, είτε κινούνται είτε όχι. Διαφορετικά δεν θα ίσχυε η διατήρηση του συνολικού φορτίου.

Γιατί το ηλεκτρικό φορτίο δεν εξαρτάται από την ταχύτητα
Ας θεωρήσουμε ένα τμήμα αγωγού που είναι ηλεκτρικά ουδέτερος. Στη συνέχεια το θερμαίνουμε. Επειδή τα ηλεκτρόνια έχουν διαφορετική μάζα από τα πρωτόνια, οι ταχύτητες των ηλεκτρονίων και των πρωτονίων θα μεταβάλλονται κατά διαφορετικές ποσότητες. Αν το ηλεκτρικό φορτίο εξαρτάται από την ταχύτητά του τότε στο θερμαινόμενο τμήμα το αρνητικό φορτίο των ηλεκτρονίων θα ήταν διαφορετικό από το θετικό φορτίο των πρωτονίων, οπότε το τμήμα του υλικού θα φορτιζόταν κατά την θέρμανσή του. Όμως μια πολύ μικρή μεταβολή στο φορτίο όλων των ηλεκτρονίων θα δημιουργούσε ένα τεράστιο ηλεκτρικό πεδίο. Αλλά τέτοιο φαινόμενο δεν παρατηρήθηκε ποτέ.
Αξίζει να σημειωθεί πως η μέση ταχύτητα των ηλεκτρονίων στην ύλη εξαρτάται από την χημική της σύσταση. Αν το φορτίο ενός ηλεκτρονίου άλλαζε με την ταχύτητα, το καθαρό φορτίο σε ένα τμήμα υλικού θα άλλαζε σε μια χημική αντίδραση. Ακόμα και μια πολύ μικρή εξάρτηση του φορτίου από την ταχύτητα θα δημιουργούσε τεράστια πεδία εξαιτίας απλούστατων χημικών αντιδράσεων. Ούτε τέτοιο φαινόμενο παρατηρήθηκε ποτέ οπότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ηλεκτρικό φορτίο ενός σωματιδίου είναι ανεξάρτητο από την κινητική του κατάσταση.

Έτσι, το ηλεκτρικό φορτίο q ενός σωματιδίου αποτελεί μια αναλλοίωτη βαθμωτή ποσότητα, ανεξάρτητη του συστήματος αναφοράς. Αυτό σημαίνει πως σε κάθε σύστημα αναφοράς η πυκνότητα του φορτίου μιας κατανομής ηλεκτρονίων εξαρτάται από τον αριθμό των ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου. Αυτό που μεταβάλλεται είναι ο όγκος εξαιτίας της σχετικιστικής συστολή του μήκους.

Θα εφαρμόσουμε τις παραπάνω ιδέες στον κινούμενο αγωγό.

Θεωρούμε μήκος L0 του αγωγού στο οποίο η πυκνότητα του ηλεκτρικού φορτίου είναι ρ0 για τα ακίνητα φορτία, τότε θα περιέχεται συνολικό φορτίο Q00L0A0. Αν τα ίδια φορτία παρατηρούνται από ένα διαφορετικό σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο κινούνται με ταχύτητα υ, τότε το μήκος του τμήματος του αγωγού που τα περιέχει θα είναι μικρότερο σύμφωνα με την εξίσωση: L=L_{0} \sqrt{1-v^{2}/c^{2}}, αλλά το εμβαδόν διατομής Α0 δεν μεταβάλλεται (αφού οι κάθετες διαστάσεις προς την ταχύτητα δεν μεταβάλλονται).

Αν η κατανομή των φορτισμένων σωματιδίων σε ηρεμία έχει πυκνότητα φορτίου ρ0, τα ίδια φορτία θα έχουν μεγαλύτερη πυκνότητα όταν παρατηρούνται από ένα σύστημα αναφοράς με σχετική ταχύτητα υ.

Αν συμβολίσουμε με ρ την πυκνότητα των φορτίων στο σύστημα αναφοράς ως  προς το οποίο κινούνται, το συνολικό φορτίο Q θα είναι Q=ρLA0. Aυτό θα πρέπει να είναι ίσο με Q0=0L0A0, αφού το φορτίο είναι το ίδιο σε κάθε σύστημα, οπότε ρL=ρ0L0 και η εξίσωση L=L_{0} \sqrt{1-v^{2}/c^{2}} μεταπίπτει στην \rho= \frac{\rho_{0}} {\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.

Eπομένως, η πυκνότητα φορτίου μιας κινούμενης κατανομής φορτίων μεταβάλλεται όπως και η σχετικιστική μάζα του σωματιδίου.
Στο σύστημα S η θετική κατανομή φορτίου είναι ρ+. Στο σύστημα S’ όπου ο αγωγός κινείται με ταχύτητα υ, η θετική κατανομή φορτίου γίνεται: \rho'_{+}= \frac{\rho_{+}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}

Tα αρνητικά φορτία είναι ακίνητα ως προς το σύστημα S’, οπότε ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς θα χαρακτηρίζονται από την «πυκνότητα ηρεμίας» ρ0=ρ’_ και θα ισχύει η σχέση:

\rho_{-}= \frac{\rho'_{-}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} ή \rho'_{-}= \rho_{-}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}

Τώρα μπορούμε να δούμε γιατί υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο στο S’ – διότι στο σύστημα αυτό εμφανίζεται μια επιπλέον πυκνότητα φορτίου που υπολογίζεται από την σχέση: ρ’= ρ’++ρ’

Δεδομένου ότι ρ= –ρ+, προκύπτει ότι: \rho'_{-}= \rho_{+} \frac{v^{2}/c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.

Ο κινούμενος αγωγός είναι θετικά φορτισμένος και παράγει ηλεκτρικό πεδίο Ε΄ στο σημείο που βρίσκεται το ακίνητο φορτίο q. Ο υπολογισμός της έντασης Ε΄ του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργεί μια ομοιόμορφη κυλινδρική κατανομή φορτίου σε απόσταση r από τον άξονα του κυλίνδρου είναι μια κλασική άσκηση ηλεκτροστατικής το αποτέλεσμα της οποίας είναι:

E'= \frac{\rho' A}{2 \pi \epsilon_{0}r}=\frac{ \rho_{+} A v^{2}/c^{2}}{2 \pi \epsilon_{0}r \sqrt{1- v^{2}/c^{2}}}

Συνεπώς στο σύστημα αναφοράς S’ η δύναμη που ασκείται στο αρνητικά φορτισμένο σωματίδιο q θα είναι:

F'=  \frac{q}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{ \rho_{+} A}{r} \frac{ v^{2}/c^{2}}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}}

Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα για την δύναμη F’ στο σύστημα S’, με την δύναμη F στο σύστημα S, [βλέπε εξ. (1) παραπάνω: F=\frac{q}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\rho_{-} A }{r} \frac{v^{2}}{c^{2}}]
διαπιστώνουμε ότι ισχύει:

F'=  \frac{ F}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}}

Για μικρές ταχύτητες (υ<<c) οι δυο δυνάμεις έχουν σχεδόν το ίδιο μέτρο και στα δυο συστήματα αναφοράς. Μπορούμε λοιπόν να ισχυριστούμε ότι, τουλάχιστον για μικρές ταχύτητες, ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός αποτελούν τις δυο όψεις του αυτού νομίσματος.
Όμως τα πράγματα είναι ακόμα καλύτερα. Αν λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι οι δυνάμεις επίσης μετασχηματίζονται όταν μεταβαίνουμε από το ένα σύστημα αναφοράς στο άλλο, διαπιστώνουμε πως οι δυο τρόποι με τους οποίους παρατηρούμε το τι συμβαίνει δίνουν στην ουσία το ίδιο φυσικό αποτέλεσμα για κάθε ταχύτητα.

διαβάστε περισσότερα ΕΔΩ: http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_13.html#Ch13-S6