Σχετικά με την ταχύτητα διάδοσης του φωτός σε διαφανή υλικά

Posted on 12/05/2019

0


Θεωρείστε ότι μια γυάλινη πλάκα με δείκτη διάθλασης n και πάχος Δz παρεμβάλλεται μεταξύ μιας μονοχρωματικής πηγής φωτός S και ενός παρατηρητή Ο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

(a) Δείξτε ότι, αν αγνοήσουμε την απορρόφηση από τη γυάλινη πλάκα, η επίδραση της πλάκας στο ηλεκτρομαγνητικό κύμα που φτάνει στον Ο είναι η προσθήκη μιας διαφοράς φάσης, που είναι ίση προς –ω(n-1)Δx/c,  χωρίς αλλαγή του πλάτους E0 του κύματος.
(b) Αν η διαφορά φάσης είναι μικρή, είτε γιατί το Δz είναι μικρό είτε γιατί το n είναι πολύ κoντά στη μονάδα, δείξτε ότι το κύμα που φτάνει στο Ο μπορεί να θεωρηθεί σαν υπέρθεση του αρχικού κύματος πλάτους Ε0, όταν δεν υπάρχει γυάλινη πλάκα, και ενός κύματος με πλάτος Ε0(n-1)Δz/c, που έχει μετατόπιση φάσης –π/2.

………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..

Μια περιγραφή του φαινομένου από την Κυματική του Berkeley

Την ποιοτική απάντηση του παραπάνω προβλήματος δίνει ο Dr. Don Lincoln από το Fermilab στο βίντεο με τίτλο: «Γιατί η ταχύτητα του φωτός είναι μικρότερη στο νερό;» που βρίσκεται ΕΔΩ. Όχι και τόσο συμπτωματικά, μια παρόμοια περιγραφή του φαινομένου συναντάμε στο βιβλίο «Κυματική ΙΙΙ Berkeley, Εργαστήρια Φυσικής Ε.Μ.Π.»:

Ένα απομονωμένο φορτισμένο σωματίδιο, που ταλαντώνεται στο κενό, εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικά κύματα, τα οποία διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα του φωτός. Γι αυτό όταν ένα προσπίπτον φωτεινό κύμα παρασύρει ένα μονωμένο φορτισμένο σωματίδιο σε μόνιμες ταλαντώσεις, το ταλαντούμενο φορτίο εκπέμπει μια ακτινοβολία, που ταξιδεύει στο κενό με ταχύτητα c. Tα πεδία που ακτινοβολούνται από το ταλαντούμενο φορτίο υπερτίθενται στο προσπίπτον πεδίο και δίνουν ένα συνιστάμενο πεδίο. Όταν υπάρχουν πολλά φορτία, όπως μέσα σε ένα κομμάτι γυαλί (ή μέσα στην ιονόσφαιρα), το κάθε φορτίο παρασύρεται από το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο που επικρατεί στην περιοχή του φορτίου αυτού. Το πεδίο όμως αυτό είναι το αποτέλεσμα της υπέρθεσης του πεδίου που θα υπήρχε, αν απουσίαζαν όλα τα φορτία (δηλαδή του «προσπίπτοντος» πεδίου) και των πεδίων που ακτινοβολούνται από όλα τα ταλαντούμενα φορτία.

Κάθε ταλαντούμενο φορτίο (π.χ. σ’ ένα κομμάτι γυαλί) ακτινοβολεί κύματα, που προχωρούν με την ταχύτητα του φωτός στο κενό c, ακόμη και αν τα κύματα «ταξιδεύουν μέσα στο γυαλί». Πως είναι δυνατόν η υπέρθεση κυμάτων με την ίδια ταχύτητα c, την ίδια συχνότητα f κι επομένως με το ίδιο μήκος κύματος λ=c/f να δίνει μια συνισταμένη με μήκος κύματος λ, που δεν ισούται με c/f, και μια ταχύτητα φάσης διαφορετική από το c;

To κλειδί βρίσκεται στη λέξη «φάση». Όλα εξαρτώνται από τη σχέση ανάμεσα στη φάση του πεδίου που ακτινοβολείται από ένα μονωμένο ταλαντούμενο φορτίο και τη φάση του πεδίου που το διεγείρει.

Αν το πεδίο το ακτινοβολούμενο από το διεγειρόμενο φορτίο είχε ακριβώς την ίδια φάση με την διεγείρουσα ακτινοβολία, τότε, σε κάποιο απομακρυσμένο σημείο, το συνολικό πεδίο θα ήταν ισχυρότερο (λόγω ενισχυτικής συμβολής), αλλά δεν θα παρουσίαζε καμία μετατόπιση στη φάση και δεν θα είχε επομένως καμία δράση πάνω στην ταχύτητα φάσης. Αν πάλι η φάση του ακτινοβολούμενου πεδίου ήταν μετατοπισμένη κατά 180ο σε σχέση με το διεγείρον πεδίο, η υπέρθεση του ακτινοβολούμενου και του διεγείροντος πεδίου θα έδινε ένα συνολικό πεδίο μικρότερο από το διεγείρον (λόγω αναιρετικής συμβολής), αλλά η φάση θα έμενε η ίδια. Για να μπορέσει η ακτινοβολία η οφειλόμενη στα φορτία μα μετατοπίσει την φάση του συνολικού πεδίου, θα πρέπει να περιλαμβάνει μια συνιστώσα, που να παρουσιάζει μια διαφορά φάσης +90ο ή 90ο σε σχέση με το αρχικό πεδίο. Η φάση του τελικού πεδίου καθορίζεται κυρίως από το διεγείρον πεδίο (γιατί το πεδίο αυτό είναι μεγαλύτερο από την απειροστή συμμετοχή ενός μόνο φορτίου), αλλά η φάση αυτή μεταβάλλεται λίγο με τη συμμετοχή του ταλαντούμενου φορτίου.

Ας υποθέσουμε π.χ. ότι σ’ ένα συγκεκριμένο σημείο, πέρα από το διεγειρόμενο φορτίο, το πεδίο που οφείλεται στην προσπίπτουσα ακτινοβολία είναι Ε0cosωt. Αυτό θα είναι το ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο εκείνο, όταν δεν υπάρχει γυαλί. Το πεδίο αυτό οφείλεται στα ηλεκτρόνια που ταλαντώνονται π.χ. μέσα σε μια απομακρυσμένη φωτεινή πηγή. Όταν παρεμβληθεί το γυαλί ανάμεσα στην απομακρυσμένη φωτεινή πηγή και τον παρατηρητή, το πεδίο το οφειλόμενο στη συμμετοχή των ταλαντούμενων ηλεκτρονίων της φωτεινής πηγής δίνεται και πάλι από το Ε0cosωt και διαδίδεται πάλι με (μέσα στο γυαλί και οτιδήποτε άλλο) με ταχύτητα c. Yποθέστε τώρα ότι μια μικρή συμμετοχή από κάποιο πεδίο Ε’sinωt, όπου το Ε’ είναι πολύ μικρό και είναι π.χ. θετικό. Η ακτινοβολία αυτή διασχίζει επίσης το υπόλοιπο του γυαλιού με ταχύτητα c, αλλά υποθέτουμε ότι η φάση της είναι μετατοπισμένη κατά 90ο σε σχέση με τη φάση της διεγείρουσας ακτινοβολίας. Η υπέρθεση των δυο πεδίων δίνει τότε στο σημείο παρατήρησης
Ε(t)= Ε0cosωt + Ε’sinωt,
Για Ε'<< Ε0 η παραπάνω σχέση ισοδυναμεί με την Ε(t)= Ε0cos(ωt-δ), όπου δ= Ε’/ Ε0<<1
Βλέπουμε λοιπόν ότι όταν παρεμβληθεί το γυαλί, η φάση του προκύπτοντος πεδίου Ε(t)σε κάποιο απομακρυσμένο σημείο μετατοπίζεται κατά δ. Ο παρατηρητής στο απομακρυσμένο σημείο πρέπει να περιμένει «περισσότερη ώρα» τώρα, ώσπου να φτάσει η φάση του Ε(t) κάποια συγκεκριμένη τιμή, πρέπει δηλαδή να περιμένει, ώστε το ωt-δ να φτάσει την τιμή που θα είχε το ωt αν δεν υπήρχε το γυαλί. Λέει επομένως ο παρατηρητής ότι η ταχύτητα φάσης είναι μικρότερη από c. Παρατηρείστε ότι αν η συμμετοχή του γυαλιού ήταν ανάλογη του cosωt, τότε δεν θα υπήρχε μετατόπιση στη φάση γιατί το τελικό πεδίο θα ήταν
Ε(t)= (Ε0 + Ε’)cosωt
και η ταχύτητα φάσης θα παρέμενε ίση με την τιμή της στο κενό, δηλαδή c. Αντίθετα το πείραμα δείχνει ότι η ταχύτητα φάσης του τελικού πεδίου είναι διαφορετική από το c παρά το ότι όλα τα πεδία που συμμετέχουν στην υπέρθεση μετακινούνται με ταχύτητα c. Aυτό σημαίνει  ότι η ακτινοβολία από τα μόρια του γυαλιού που φτάνει σε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t,  έχει υποστεί μία μετατόπιση ±90ο  σε σχέση με την ακτινοβολία της φωτεινής πηγής, η οποία ακτινοβολία φτάνει την ίδια στιγμή.

Το μόνο που μας απομένει να δείξουμε είναι ότι μια απειροστή συμμετοχή των ακτινοβολούντων μορίων του γυαλιού έχει πράγματι μια φάση μετατοπισμένη κατά 90ο σε σχέση με το διεγείρον πεδίο. Αυτό θα το δείξουμε με τον ακόλουθο τρόπο: Υποθέτουμε ότι το προσπίπτον πεδίο είναι Ε0cosωt. Τότε το ταλαντούμενο φορτίο μετατοπίζεται κατά x(t)=Aelcosωt, όταν το ω βρίσκεται μακριά από μια τιμή συντονισμού. Αποδεικνύεται ότι η ακτινοβολία από ένα ταλαντούμενο φορτίο είναι ανάλογη προς την «επιβραδυνόμενη επιτάχυνση». Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο που ακτινοβολείται σε μια απόσταση z από το φορτίο αυτό είναι ανάλογη προς την επιτάχυνση που είχε το φορτίο τη στιγμή t – (z/c), όταν δηλαδή εκπεμπόταν η ακτινοβολία. Αν η κίνηση είναι αρμονική, η επιτάχυνση δίνεται από το γινόμενο ω2 επί τη μετατόπιση. Έτσι, φτάνουμε στο εξωφρενικό αποτέλεσμα ότι κάθε ταλαντούμενο φορτίο συμμετέχει στην ακτινοβολία κατά ένα πεδίο ανάλογο του cosωt, ενώ εμείς αποφασίσαμε ότι η συμμετοχή αυτή πρέπει να είναι ανάλογη του sinωt, αν θέλουμε να βρούμε μια ταχύτητα φάσης διαφορετική του c! Η εξήγηση είναι η ακόλουθη:

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα «επίπεδο κύμα» ακτινοβολίας, που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z. Τότε κάποια χρονική στιγμή θα πρέπει να λάβουμε υπόψη όχι μόνο τη συμμετοχή ενός μορίου, που θα βρίσκεται ακριβώς πριν από το σημείο παρατήρησης, αλλά όλες τις συμμετοχές από μια λεπτή πλάκα γυαλιού κάθετη στην κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Όπως είδαμε μόλις τώρα, το μόριο που βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο παρατήρησης συμμετέχει με ένα ελάχιστο πεδίο, που βρίσκεται σε φάση με το προσπίπτον πεδίο (παραλείποντας το πρόσημο, θετικό ή αρνητικό) αλλά τα άλλα μόρια της πλάκας βρίσκονται πιο μακριά. Η συμμετοχή τους θέλει περισσότερη ώρα για να φτάσει ταξιδεύοντας πάντα με ταχύτητα c). Αν ολοκληρώσουμε πάνω σε μια πλάκα απείρως πλατιά, αποδεικνύεται ότι η ολική συμμετοχή της πλάκας υστερεί ως προς τη φάση κατά 90ο σε σχέση με τη συμμετοχή του πλησιέστερου μορίου. Με άλλα λόγια το μέσο μόριο της πλάκας βρίσκεται κατά ένα τέταρτο του μήκους κύματος πιο μακριά από το σημείο της παρατήρησης απ’ ότι το μόριο το πλησιέστερο στο σημείο αυτό. Βρήκαμε λοιπόν την αιτία γι αυτή τη μετατόπιση φάσης κατά 90ο και έτσι μπορούμε να δούμε πως τόσο πολλά κύματα, που όλα ταξιδεύουν με ταχύτητα c, μπορούν να υπερτεθούν έτσι, ώστε να δώσουν ένα ολικό κύμα, που ταξιδεύει με μία ταχύτητα φάσης διαφορετική από c. Αν η φασική αυτή ταχύτητα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από το c εξαρτάται μόνο από το αν οι διεγειρόμενες ταλαντώσεις είναι σε φάση ή έχουν μια διαφορά φάσης 180ο σε σχέση με τη διεγείρουσα ακτινοβολία. Αυτό πάλι εξαρτάται, όπως είδαμε, από το αν  η διεγείρουσα συχνότητα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από τη συχνότητα συντονισμού. Αφού όλα τα μόρια ταλαντώνονται σε μόνιμη κατάσταση, δεν πρέπει να μας «ανησυχεί» το ότι η ταχύτητα φάσης μπορεί να υπερβεί το c.

Η προσέγγιση του Richard Feynman

Ας δούμε τώρα πως αντιμετωπίζει το πρόβλημα ο Richard Feynman:

Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διέρχεται μέσα από μια λεπτή γυάλινη πλάκα

Θέλουμε να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου (αφού η επίδραση του μαγνητικού πεδίου είναι αμελητέα) που δημιουργείται στο σημείο Ρ και οφείλεται στην ταλάντωση των ηλεκτρικών φορτίων της γυάλινης πλάκας.
Το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο Ρ οφείλεται στο διανυσματικό άθροισμα του πεδίου ΕS που δημιουργεί η πηγή S και του πεδίου Εa που δημιουργούν όλα τα φορτία της γυάλινης πλάκας (διότι εκτελούν εξαναγκασμένη ταλάντωση εξαιτίας του αρχικού πεδίου).
Ποια είναι η τιμή του πεδίου διόρθωσης Εa αν πάρουμε ως δεδομένο ότι ότι το συνολικό πεδίο στο Ρ πρέπει να φτάνει με χρονική καθυστέρηση εξαιτίας της γυάλινης πλάκας;
Αν δεν υπήρχε το πλακίδιο τότε ίσχυε: E_{P}=E_{S}=E_{0}\cos \omega (t - z/c)
ή χρησιμοποιώντας τον πιο βολικό μιγαδικό συμβολισμό:
E_{S}=E_{0} e^{i\omega (t - z/c)} (1)
Επίσης, αν δεν υπήρχε το πλακίδιο τότε το κύμα θα διέσχιζε την απόσταση Δz σε χρόνο Δz/c.
Τώρα όμως υπάρχει το πλακίδιο, κι αν η ταχύτητα του φωτός μειώνεται μέσα στο γυαλί και γίνεται c/n, τότε απαιτείται επιπλέον χρόνος Δt=(n–1)Δz/c.
Επομένως, θεωρώντας την πλάκα παρούσα,
αντικαθιστώντας στην εξ. (1) τον χρόνο t με (t–Δt)=[t–(n–1)Δz/c], παίρνουμε:
E_{after \, \, plate}=E_{0} e^{i\omega \left(t - (n-1) \Delta z/c\right)} = e^{-i\omega (n-1) \Delta z/c}E_{0} e^{i\omega (t - z/c)}   (2)
H παραπάνω εξίσωση μας λέει ότι το κύμα μετά την πλάκα είναι το κύμα που θα υπήρχε χωρίς την πλάκα πολλαπλασιασμένο επί έναν εκθετικό παράγοντα e^{-i\omega (n-1) \Delta z/c} .
Γνωρίζουμε ότι ο πολλαπλασιασμός μιας περιοδικής συνάρτησης, όπως η e^{i\omega t} με έναν παράγοντα e^{i \theta}, σημαίνει μια αλλαγή φάσης της ταλάντωσης κατά μια γωνία θ, η οποία οφείλεται προφανώς, σε μια έξτρα χρονική καθυστέρηση κατά την διέλευση από το γυάλινο πλακίδιο πάχους Δz.
Στην περίπτωση μικρού πάχους (ή μικρού δείκτη διάθλασης) μπορούμε να γράψουμε:
e^{-i \omega (n-1) \Delta z/c} \cong 1 - i \omega (n-1) \Delta z/c , δεδομένου ότι όταν x<<1, τότε ex≈1+x.

Aντικαθιστώντας στην εξ. (2) παίρνουμε
E_{after \, \, plate}=E_{0} e^{i\omega (t - z/c)} - \frac{i \omega (n-1) \Delta z}{c}E_{0}e^{i\omega (t - z/c)}
Ο πρώτος όρος είναι το πεδίο που οφείλεται στην πηγή και ο δεύτερος όρος θα πρέπει να ισούται με Εa, το πεδίο που παράγεται δεξιά της πλάκας από την ταλάντωση των φορτίων της, συναρτήσει του δείκτη διάθλασης n.
Την παραπάνω εξίσωση «βλέπουμε» στο παρακάτω διάγραμμα:
O μιγαδικός αριθμός ΕS βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα (επιλέγοντας κάποιες τιμές για τα z και t), χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο. Η καθυστέρηση που οφείλεται στο γυάλινο πλακίδιο θα περιστρέψει το ΕS κατά μια αρνητική γωνία. Αλλά αυτό είναι ισοδύναμο με την πρόσθεση ενός μικρού διανύσματος Εa, σχεδόν κάθετου με το ΕS. Όμως αυτό ακριβώς σημαίνει ο πολλαπλασιασμός με έναν παράγοντα (−i) στον δεύτερο όρο της εξίσωσης (2). Ότι τα Εa και ΕS είναι κάθετα μεταξύ τους.

Πηγές:
1. Πεδία και Κύματα, Marcelo Alonso, Edward J. Finn, πρόβλημα 19.55
2. Κυματική ΙΙΙ Berkeley, Εργαστήρια Φυσικής Ε.Μ.Π.
3. The Feynman Lectures on Physics