Μια κλασσική αντιμετώπιση του φαινομένου Compton

Posted on 08/03/2019

0


H μάζα και η ορμή των κβάντων του φωτός


Η ανάλυση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου από τον Αϊνστάιν απέδειξε ότι η κβάντωση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας δεν είναι μόνο ένα χαρακτηριστικό του μηχανισμού αλληλεπίδρασης της ακτινοβολίας με την ύλη, όπως υπέθεσε ο Planck μελετώντας την ακτινοβολία του μέλανος σώματος, αλλά ίδιον χαρακτηριστικό της ακτινοβολίας που συνίσταται από πακέτα ενέργειας, τα κβάντα φωτός ή φωτόνια. Η ενέργεια των φωτονίων είναι Eφωτ=hf, όπου h η σταθερά του Planck και f η συχνότητα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Αυτό όμως δεν ήταν αρκετό για να ξεκαθάρισει πλήρως το τοπίο.

Για να είναι σωματίδια τα φωτόνια θα πρέπει εκτός από ενέργεια να διαθέτουν και ορμή όπως όλα τα σωματίδια. Η ορμή των φωτονίων υπολογίζεται από την εξίσωση: pφωτ=mφωτc, όπου c η ταχύτητα του φωτός. Η μάζα ηρεμίας των φωτονίων είναι μηδέν, αλλά ποτέ ένα φωτόνιο δεν ηρεμεί. Έτσι, χρησιμοποιώντας την εξίσωση ισοδυναμίας μάζας-ενέργειας Ε=mφωτ c2 και την εξίσωση της ενέργειας του φωτονίου, υπολογίζουμε την μάζα των κινούμενων φωτονίων  mφωτ=hf/c2 και την ορμή τους ως pφωτ= hf/c=h/λ, όπου λ=c/f το μήκος κύματος.

Η σκέδαση Compton

Το πείραμα που επιβεβαίωσε ότι τα φωτόνια είναι σωματίδια με την πλήρη έννοια του όρου, ότι δηλαδή διαθέτουν εκτός από ενέργεια και ορμή, ήταν το πείραμα Compton.

Η πειραματική διάταξη της σκέδασης Compton. Δέσμη ακτίνων Χ προσπίπτει σε στόχο από γραφίτη και η σκεδαζόμενη ακτινοβολία ανιχνεύεται σε διάφορες γωνίες θ ως προς την διεύθυνση της αρχικής δέσμης. Η σκεδαζόμενη ακτινοβολία έχει μικρότερη συχνότητα από την αρχική. Σε μεγαλύτερες γωνίες σκέδασης η συχνότητα της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας γίνεται ακόμα μικρότερη.

Μπορείτε να διαβάσετε την πρωτότυπη δημοσίευση του Arthur H. Compton ΕΔΩ: «A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements» .

Στο πείραμα Compton μια δέσμη συγκεκριμένης συχνότητας ακτίνων Χ ή γ βομβαρδίζει κάποιο στόχο και τα υψηλής ενέργειας φωτόνια αλληλεπιδρούν με τα ηλεκτρόνια του υλικού του στόχου. τα οποία μπορούν με πολύ καλή προσέγγιση να θεωρηθούν ακίνητα. Τα ηλεκτρόνια μπορούν να είναι είτε ελεύθερα είτε δέσμια, αφού ούτως ή άλλως οι ενέργειές τους (μερικά eV) σε σχέση με τις ενέργειες των ακτίνων Χ (εκατοντάδες keV) είναι αμελητέες.

Ο Arthur Compton το 1927. Τον Νοέμβριο του 1922 ο Compton ανακοίνωσε τα αποτελέσματα του πειράματός του σε ένα συνέδριο (στο Σικάγο). Όμως το άρθρο που έστειλε στο Physical Review τα Χριστούγεννα του ίδιου έτους αγνοήθηκε από τους συντάκτες και δημοσιεύθηκε την 1η Μαΐου 1923. Έτσι τον πρόλαβε ο Peter Debye που δημοσίευσε παρόμοια εργασία σε ένα γερμανικό περιοδικό. Όμως η επιστημονική κοινότητα και ο ίδιος ο Debye αναγνώρισαν ότι η ανακάλυψη έγινε από τον Compton. Έτσι το 1927 ο Compton βραβεύθηκε με το Νόμπελ φυσικής.

Σύμφωνα με την κυματική θεωρία το προσπίπτον ηλεκτρομαγνητικό κύμα θέτει τα ηλεκτρόνια του στόχου σε ταλάντωση με συχνότητα ίση με την συχνότητα του κύματος. Η ταλάντωση των ηλεκτρονίων με τη σειρά τους παράγουν ένα δεύτερο ηλεκτρομαγνητικό κύμα με συχνότητα ίση με την συχνότητα ταλάντωσης των ηλεκτρονίων. Έτσι, το σκεδαζόμενο κύμα, σύμφωνα με την κυματική θεωρία θάπρεπε να έχει ίδια συχνότητα με το προσπίπτον.

Το πείραμα Compton απέδειξε ότι η συχνότητα του σκεδαζόμενου φωτός f’ είναι μικρότερη από την συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός f.
Kαι μάλιστα τόσο μικρότερη όσο προβλέπουν οι αρχές διατήρησης της ενέργειας και της ορμής, αν θεωρήσουμε ότι το φως ότι συνίσταται από σωματίδια που εκτός από ενέργεια φέρουν και ορμή pφωτ= hf/c=h/λ.

Το φωτόνιο με συχνότητα f συγκρούεται ελαστικά με ακίνητο ηλεκτρόνιο. Μετά την κρούση το φωτόνιο έχει συχνότητα f’ και η κατεύθυνση της κίνησής του σχηματίζει γωνία θ με την αρχική κατεύθυνση, ενώ η κατεύθυνση της κίνησης του ηλεκτρονίου σχηματίζει γωνία φ.

Για να υπολογίσουμε την μεταβολή της συχνότητας ή του μήκους κύματος στην σκέδαση Compton εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας:
hf+m_{0}c^{2} = hf'+E   (1)
και την αρχή διατήρησης της ορμής
στον άξονα χ:
\frac{hf}{c}+0=\frac{hf'}{c}  \cos \theta +p \cos \phi   (2)
και στον άξονα ψ:
0+0 = \frac{hf'}{c} \sin \theta - p \sin \phi    (3)
Στην διατήρηση της ενέργειας χρησιμοποιήσαμε την ενέργεια ηρεμίας του ηλεκτρονίου, ενώ η ενέργεια του σκεδαζόμενου ηλεκτρονίου υπολογίζεται από την σχετικιστική εξίσωση: E=\sqrt{c^{2}p^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι:
\frac{1}{f'}-\frac{1}{f} = \frac{h}{m_{0}c^{2}} (1- \cos \theta)    (4)
ή
\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{0}c}(1- \cos \theta)   (5)

Tα πειραματικά αποτελέσματα του πειράματος Compton συμφωνούν εξαιρετικά με την θεωρητική ανάλυση

Έτσι, το πείραμα Compton απέδειξε ότι ή σκεδαζόμενη ακτινοβολία έχει μικρότερη συχνότητα (ή μεγαλύτερο μήκος κύματος) σε σχέση με τις προσπίπτουσα, όπως ακριβώς προβλέπει η θεωρητική ανάλυση που θεωρεί την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία ως σωματίδια που φέρουν ορμή.

Σκέδαση Compton και μη σχετικιστικά ηλεκτρόνια

Όλα τα παραπάνω είναι η καθιερωμένη ανάλυση που γίνεται σε όλα τα βιβλία που πραγματεύονται την σκέδαση Compton.

Tίθεται το εξής ερώτημα (ως άσκηση της εβδομάδας): Πόσο θα άλλαζε το αποτέλεσμα αν στις εξισώσεις διατήρησης ενέργειας και ορμής (1), (2) και (3), θεωρούσαμε τις μη σχετικιστικές εξισώσεις για την ενέργεια και ορμή του ηλεκτρονίου;

Αν δηλαδή, στην αρχή διατήρησης της ενέργειας δεν παίρναμε υπόψιν την ενέργεια ηρεμίας του ηλεκτρονίου και θεωρούσαμε ως ενέργεια του ηλεκτρονίου μετά την κρούση τον κλασσικό τύπο της κινητικής ενέργειας K=½m0υ2,
hf+0 = hf'+\frac{1}{2}mv^{2}
και στην αρχή διατήρησης της ορμής θεωρούσαμε την ορμή του ηλεκτρονίου ως p=m0υ
\frac{hf}{c}+0=\frac{hf'}{c}  \cos \theta +m_{0}v \cos \phi
0+0 = \frac{hf'}{c} \sin \theta - m_{0}v \sin \phi
ποιά θα είναι τότε η συχνότητα της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας;

Αν λύσουμε το σύστημα των τριών τελευταίων εξισώσεων θα πάρουμε:
\frac{1}{f'}-\frac{1}{f} = \frac{h}{m_{0}c^{2}} \left( \frac{f}{2f'}+\frac{f'}{2f}- \cos \theta \right)
ή
\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{0}c}\left(\frac{\lambda'}{2 \lambda}+\frac{\lambda}{2 \lambda'}- \cos \theta \right)

Συμφωνούν οι παραπάνω εξισώσεις με τα πειραματικά αποτελέσματα του πειράματος Compton; Η απάντηση είναι πως ναι!

Η διαφορά με τις «σωστές» εξισώσεις (4) και (5) είναι ότι εμφανίζεται ο επιπλέον όρος:
\left( \frac{f}{2f'}+\frac{f'}{2f} \right) ή \left(\frac{\lambda'}{2 \lambda}+\frac{\lambda}{2 \lambda'}\right) .
Έτσι, αν για παράδειγμα στην σκέδαση Compton έχουμε μεταβολή του μήκους κύματος κατά 10% (στο πείραμα η μεταβολή ήταν μικρότερη) τότε ο επιπλέον όρος γίνεται \left(\frac{\lambda'}{2 \lambda}+\frac{\lambda}{2 \lambda'}\right) \cong1 , οπότε προκύπτει η συνήθης εξίσωση σκέδασης Compton για το μήκος κύματος \lambda' - \lambda \cong \frac{h}{m_{0}c}(1- \cos \theta ) (το ίδιο ισχύει και στην εξίσωση με την συχνότητα).

(νεώτερη ενημέρωση)
Τελικά υπάρχουν και δημοσιεύσεις που πραγματεύονται την μη-σχετικιστική προσέγγιση του φαινομένου Compton θεωρώντας τις κλασσικές εκφράσεις της ενέργειας και ορμής των ηλεκτρονίων. Για παράδειγμα η εργασία των Steve Feller, Sandeep Giri, Nicholas Zakrasek, and Mario Affatigato στο περιοδικό The Physics Teacher με τίτλο «A Non-Relativistic Look at the Compton Effect» .