Μια σχέση ταχυτήτων σε ένα αρμονικό κύμα

Posted on 06/01/2019

2


Στο σχήμα βλέπουμε το στιγμιότυπο ενός αρμονικού κύματος, μια χρονική στιγμή t=t1.
Η εφαπτόμενη στο σημείο Κ της κυματομορφής, σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα x.
Αν υΚ το μέτρο της εγκάρσιας ταχύτητας του σημείου Κ και c το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος, να δείξετε ότι

v_{K} / c = - \tan \phi   ή   v_{K} / c = + \tan \phi

Λύση:
 

 

Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος δίνεται από την εξίσωση y(x,t) = A \sin (\omega t - k x)
Το πρόσημο (–) ισχύει όταν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά και το πρόσημο (+) όταν διαδίδεται προς τα αριστερά.
Στην περίπτωση που το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, η εγκάρσια ταχύτητα του σημείου Κ θα είναι:
v_{K}=\frac{\partial y(x,t)}{\partial t} =A \omega \cos (\omega t_{1} - k x)
H κλίση της εφαπτόμενης στο σημείο Κ θα είναι:
\tan \phi = \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} =- A k \cos (\omega t_{1} - k x)
Διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει: v_{k} = - \frac{\omega}{k} \tan \phi
ή v_{K} = - c \tan \phi , όπου c=\frac{\omega}{k} η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
Παρόμοια, προκύπτει ότι v_{K} = + c \tan \phi , αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά.

Παρατηρήσεις:
1. Τα παραπάνω ισχύουν για οποιαδήποτε κυματομορφή της μορφής y(x,t) = f (ct-x)
2. Όταν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, τα σημεία της κυματομορφής που έχουν θετική κλίση κινούνται προς τα κάτω (v <0), ενώ τα σημεία της κυματομορφής που έχουν αρνητική κλίση κινούνται προς τα πάνω (v>0).
Όταν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά, τα σημεία της κυματομορφής που έχουν θετική κλίση κινούνται προς τα πάνω (v >0), ενώ τα σημεία της κυματομορφής που έχουν αρνητική κλίση κινούνται προς τα κάτω (v<0).