Μια κρούση όπου η αρχή διατήρησης της ορμής δεν ισχύει

Posted on 01/01/2019

3


Από τη συλλογή: 300 Creative Physics Problems with Solutions, Lazlo Holics – Οι απαντήσεις των 300 προβλημάτων βρίσκονται ΕΔΩ (Το πρόβλημα απαιτεί γνώσεις Φυσικής από Β’ Λυκείου και άνω)

Ένα σώμα μάζας Μ=5kg ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Δεύτερο σώμα μάζας m=1kg που πέφτει ελεύθερα, συγκρούεται με την μάζα M πλαστικά. Λίγο πριν την κρούση η μάζα m έχει κατακόρυφη ταχύτητα V1=10m/s, ενώ η μάζα Μ οριζόντια ταχύτητα V2 (βλέπε σχήμα). H πλαστική κρούση διαρκεί πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt (Δt→0). O συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ M και οριζοντίου επιπέδου είναι μ=0,4095.
Αν η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση είναι VK=1m/s, με οριζόντια διεύθυνση,
να υπολογίσετε την ταχύτητα V2 της μάζας Μ λίγο πριν την κρούση.
[Απάντηση: 2,019 m/s και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ ! ]

Λύση:

Κατά τη διάρκεια της κρούσης στην μάζα m ασκούνται οι (κατακόρυφης διεύθυνσης) δυνάμεις w1=mg και Ν1, η συνισταμένη των οποίων μηδενίζει την κατακόρυφη συνιστώσα της ορμής: N_{1}-w_{1} = \frac{\Delta p_{\psi}}{\Delta t} = \frac{m V_{1}-0}{\Delta t} , οπότε:

                        N_{1} = mg + \frac{m V_{1}}{\Delta t}         (1)

Για την μάζα Μ στον κατακόρυφο άξονα θα ισχύει: \Sigma F_{\psi} = N - N_{2} - Mg =0

και δεδομένου ότι Ν12 (δράση-αντίδραση), χρησιμοποιώντας την εξ. (1) παίρνουμε:

N=Mg + mg + \frac{m V_{1}}{\Delta t}      (2)

Θα μπορούσε να πει κανείς ότι στον οριζόντιο άξονα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής, “αφού κατά την διάρκεια της κρούσης οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των σωμάτων είναι πολύ μεγαλύτερες από την εξωτερική δύναμη της τριβής ολίσθησης Τ”, άρα για την διάρκεια της κρούσης ισχύει με πολύ καλή προσέγγιση \Sigma F_{\chi} \cong 0 .
Όμως στην περίπτωσή μας κάτι τέτοιο δεν ισχύει, αφού \Sigma F_{\chi} = T = \mu N και η τριβή λόγω της εξ. (2) (όπου Δt→0), δεν μπορεί να αγνοηθεί κατά την διάρκεια της κρούσης, για να εφαρμοστεί έστω και προσεγγιστικά η αρχή διατήρησης της ορμής.

Έτσι, για την μάζα Μ, στον οριζόντιο άξονα θα ισχύει: \Sigma \vec{F}_{\chi}  = \frac{\vec{p}_{\tau}-\vec{p}_{\alpha}}{\Delta t} ή θεωρώντας ως θετική φορά προς τα δεξιά: (m+M)V_{K}-M V_{2} = -T \Delta t = -\mu N \Delta t .

Xρησιμοποιώντας την εξ. (2) παίρνουμε: (m+M)V_{K}-M V_{2} = -\mu (M+m)g \Delta t - \mu m V_{1}

Δεδομένου ότι Δt→0, θέτουμε στην τελευταία εξίσωση χωρίς φόβο Δt=0, και λύνοντας ως προς V2 προκύπτει:

V_{2} = \frac{(m+M)V_{K} + \mu m V_{1}}{M} =2,019 \, \, m/s