Το πρόβλημα της ακρίδας

«Μια ακρίδα προσγειώνεται στο (επίπεδο) γκαζόν, το οποίο μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα – όχι απαραίτητα συνεχές. Το γκαζόν έχει εμβαδόν 1. Η ακρίδα προσγειώνεται σε ένα τυχαίο σημείο και στη συνέχεια πηδάει μια φορά κατά d=0.3, προς μια τυχαία κατεύθυνση.
Ποιο πρέπει να είναι το σχήμα του γκαζόν ώστε η ακρίδα να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να προσγειωθεί μετά το άλμα της πάλι μέσα στο γκαζόν;
»

Πρόκειται για ένα πρόβλημα που μπορεί εύκολα να διατυπωθεί, αλλά είναι πολύ δύσκολο να επιλυθεί. Το πρόβλημα αναδεικνύουν οι Olga Goulko και Adrian Kent στην εργασία τους «The grasshopper problem» . Προέκυψε έμμεσα κατά την ανάλυση των ανισοτήτων Bell – οι ανισότητες που χρησιμοποιούνται συνήθως για να αναδείξουν την πραγματικότητα της κβαντικής συμπεριφοράς.

Οι Goulko και Kent δεν κατάφεραν να βρουν μια πλήρη λύση. Όμως, μεταφέροντας το πρόβλημα σε ένα φυσικό σύστημα και κάνοντας προσομοιώσεις σε υπολογιστή δίνουν ακριβείς εκτιμήσεις και υπολογίζουν τα όρια του προβλήματος.

Απάντηση (για d=0.3): Εφόσον d<1/√π≈0.56, το βέλτιστο σχήμα είναι κάτι σαν οδοντωτός τροχός με n προεξοχές, όπου ο αριθμός n προσεγγίζει την τιμή π/arcsin(√πd/2). Για d=0.3, προκύπτει n=11.67≈12

Στο βίντεο που ακολουθεί βλέπουμε παραδείγματα βέλτιστων σχημάτων για τις διάφορες τιμές του d:

πηγή: backreaction.blogspot.gr 



Κατηγορίες:ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 replies

  1. Πολύ ενδιαφέρον. Μικρή παρατήρηση στην απόδοση των μαθηματικών όρων (simply) connected, disconnected κλπ. Από όσο θυμάμαι, στα ελληνικά αποδίδονται με τους όρους (απλά) συνεκτικό και μη συνεκτικό. Συνεχής είναι η ελληνική απόδοση του continuous.

    • Πολύ σωστά.
      Γράφω «όχι απαραίτητα συνεχές σχήμα», εννοώντας ότι το σχήμα του γκαζόν θα μπορούσε να συνίσταται και από τμήματα ασύνδετα μεταξύ τους, χωρίς καμιά αναφορά στην μαθηματική ορολογία. Το «συνεχές» προφανώς δεν αναφέρεται ως απόδοση του τοπολογικού όρου «συνεκτικός».
      Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση-διευκρίνηση.

      Με την ευκαιρία, ιδού και το αντίστοιχο βίντεο που εξηγεί το πρόβλημα της ακρίδας:

      • Το είχα δει, και ήταν ένας από τους λόγους που είπα ότι μου άρεσε το θέμα.

Γράψτε απάντηση στο Χάρης Βάρβογλής Ακύρωση απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: