To όνειρο του δευτεροετούς (sophomore’s dream)

Posted on 11/11/2017

0


Στα μαθηματικά το όνειρο του δευτεροετούς θεωρείται η ταυτότητα:

\int_{0}^{1} x^{-x} dx = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-n} ,

αλλά και η \int_{0}^{1} x^{x} dx = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n}

To όνομα «sophomore’s dream» εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο των Borwein, Bailey και Girgensohn «Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery» (2004), κατ’ αναλογία με το όνομα «freshman’s dream» (το όνειρο του πρωτοετή) που είναι η λανθασμένη ταυτότητα (x + y)^{n} = x^{n} + y^{n} . Όμως οι ταυτότητες του Sophomore’s dream είναι αληθείς.

Η ταυτότητα «του ονείρου του δευτεροετούς», αποδεικνύεται σε μια δημοσίευση του Johann Bernoulli το 1697 όπου επιχειρεί να υπολογίσει το εμβαδόν κάτω από την γραφική παράσταση της καμπύλης x^{x} από x=0 έως x=1. Επρόκειτο για την συνέχεια μιας προηγούμενης εργασίας στην ίδια χρονιά, όπου ξεκαθάριζε τον λανθασμένο συλλογισμό: \int \frac{dx}{x} = \int x^{-1} dx = \frac{1}{0}x^{0} = \infty (μια «παρατραβηγμένη» εφαρμογή των κανόνων ολοκλήρωσης) και της μελέτης της συνάρτησης y=x^{x}

Η συνάρτηση xx

Στην δεύτερη εργασία του 1697 ο Johann Bernoulli αποδεικνύει την δεύτερη ταυτότητα του Sophomore’s dream παρατηρώντας ότι συγκλίνει ταχύτατα.  Το ίδιο ισχύει και για την πρώτη ταυτότητα:
\int_{0}^{1} x^{-x} dx = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{4}}+ \frac{1}{5^{5}} + \cdots \approx 1,29128599706266354041 ,
όπου για τον προσδιορισμό των 20 πρώτων δεκαδικών ψηφίων αρκεί ο υπολογισμός των 16 πρώτων στης σειράς.

πηγές: en.wikipedia.org
William Dunham, «The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue», Princeton University Press

 

 

Ετικέτα: