Ψάχνοντας για την βραχυστόχρονη καμπύλη

Posted on 09/01/2017

0


Cycloid_f

Η κυκλοειδής καμπύλη

Το ερώτημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1696 από τον Johann Bernoulli:
Έστω A και Γ τα άκρα ενός σύρματος σε κατακόρυφο επίπεδο. Να βρεθεί το σχήμα που πρέπει να έχει το σύρμα, έτσι ώστε μια χάντρα που ολισθαίνει χωρίς τριβές, ξεκινώντας από το Α χωρίς αρχική ταχύτητα μόνο υπό την επίδραση της βαρύτητας, να φτάσει στο Γ στον ελάχιστο χρόνο.

kykloeidhs1Το πρόβλημα αυτό έχει ιστορική αξία. Η λύση του είναι η κυκλοειδής καμπύλη (διαβάστε επίσης: Η κυκλοειδής καμπύλη είναι «ισόχρονη» και «βραχυστόχρονη») και συνέβαλε στην ανάπτυξη του λογισμού των μεταβολών και την Λαγκρανζιανή Μηχανική.
Τη λύση του προβλήματος μπορείτε να βρείτε εύκολα στο διαδίκτυο π.χ. εδώ:mathworld.wolfram.com.

Ο καθηγητής φυσικής Rhett Allain προσεγγίζει το πρόβλημα με έναν διαφορετικό τρόπο σε άρθρο του στο Wired. Επειδή η θεωρητική επίλυση του προβλήματος, η αναζήτηση μιας συνάρτησης που ελαχιστοποιεί ένα ολοκλήρωμα, του φαινόταν λίγο μαγική και μυστηριώδης, αποφάσισε να δημιουργήσει ένα υπολογιστικό πρόγραμμα-παιχνίδι. Ένα παιχνίδι φυσικής όπου ο παίκτης προσπαθεί να μαντέψει διαισθητικά την απάντηση χωρίς να επιλύσει το πρόβλημα αναλυτικά.
Τροποποιώντας κάθε φορά την τροχιά μεταξύ των σημείων Α και Γ, αφήνουμε το σώμα να ολισθήσει κατά μήκος αυτής της τροχιάς. Ένα χρονόμετρο καταγράφει το αντίστοιχο χρονικό διάστημα της κίνησης μεταξύ των δυο σημείων … και μετά από δοκιμές είναι δυνατός ο προσδιορισμός της τροχιάς για την οποία το χρονικό διάστημα της κίνησης είναι το ελάχιστο.

Η κίτρινη καμπύλη είναι η κυκλοειδής καμπύλη που επιλύει το πρόβλημα της βραχυστοχρόνης τροχιάς. Η τροχιά που καθορίζουν τα σημεία προέκυψε από το παιχνίδι-πρόγραμμα που κατασκεύασε ο Rhett Allain

Η κίτρινη καμπύλη είναι η κυκλοειδής καμπύλη που επιλύει το πρόβλημα της βραχυστοχρόνης τροχιάς. Η τροχιά που καθορίζουν τα λευκά σημεία προέκυψε από το παιχνίδι-πρόγραμμα που κατασκεύασε ο Rhett Allain

Μπορείτε να δοκιμάσετε την τύχη σας παίζοντας με το πρόγραμμα του Rhett Allain ή να διαβάσετε με λεπτομέρεια το πως προσεγγίζει την λύση αριθμητικά και να «κλέψετε» τον κώδικα που χρησιμοποιεί εδώ:www.wired.com, «Let’s Tackle a Classic, Wicked Physics Problem. It’ll Be Fun—Promise»,

Posted in: ΜΗΧΑΝΙΚΗ