Από τον νόμο του Ohm στο νόμο του Poiseuille

Posted on 31/10/2016

0


Όλοι θυμούνται το νόμο του Ohm

Ένας από τους πιο γνωστούς νόμους της φυσικής είναι ο νόμος του Ohm. Ακόμα και στα σχολεία της χώρας μας, όπου το μάθημα της φυσικής υποβαθμίζεται συστηματικά τα τελευταία χρόνια, ο νόμος αυτός διδάσκεται και στο γυμνάσιο και στο λύκειο:

I = \frac{\Delta V}{R}

«Η ένταση του ρεύματος I που διαρρέει έναν μεταλλικό αγωγό αντίστασης R και σταθερής θερμοκρασίας, είναι ανάλογη της διαφοράς δυναμικού ΔV που εφαρμόζεται στα άκρα του».

Αυτή η εξάρτηση της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος σε έναν αγωγό από την διαφορά δυναμικού στα άκρα του, διατυπώθηκε με έναν περίπλοκο τρόπο για πρώτη φορά το 1826(;), από τον Βαυαρό φυσικό Georg Simon Ohm (1789–1854)

Την ίδια εποχή ο Γάλλος φυσικός Claude Pouillet (1790-1868) διατύπωσε την γνωστή σχέση που μας δίνει την εξάρτηση της αντίστασης R ενός κυλινδρικού αγωγού από το μήκος του , το εμβαδόν S της διατομής του αγωγού, το είδος του υλικού και την θερμοκρασία του:

R = \rho \frac{\ell}{S} = \rho \frac{\ell}{\pi r^{2}}

όπου r ακτίνα της διατομής και ρ η ειδική αντίσταση του αγωγού που εξαρτάται από το υλικό του αγωγού και τη θερμοκρασία του.

Συνδυάζοντας το νόμο του Ohm με την σχέση του Pouillet, παραλείποντας την αριθμητική σταθερά π, προκύπτει ότι:

I \sim \frac{\Delta V \, r^{2}}{\rho \, \ell}  \, \, \, \, (1)

Ποιος θυμάται το νόμο του Poiseuille;

Πρόκειται για το νόμο που αναφέρεται στην (στρωτή) ροή ενός πραγματικού υγρού μέσα σε κυλινδρικό σωλήνα. Και είναι εύκολο να διατυπωθεί με τη βοήθεια του νόμου Ohm για το ηλεκτρικό ρεύμα.

Αρκεί να φανταστούμε το ηλεκτρικό ρεύμα σαν ένα ρευστό που ρέει σε έναν οριζόντιο κυλινδρικό σωλήνα.

Κάνουμε τις παρακάτω εύλογες αντιστοιχίες:

ένταση ρεύματος (Ι =φορτίο/χρόνος)  ↔   παροχή σωλήνα (Π=όγκος/χρόνος)

ειδική αντίσταση αγωγού (ρ)                 ↔   συντελεστής ιξώδους ρευστού (η)

διαφορά δυναμικού (ΔV)                        ↔   δύναμη (F=ΔP∙S= ΔP∙πr2)

όπου ΔV η διαφορά δυναμικού στα άκρα του αγωγού, το αίτιο του ηλεκτρικού ρεύματος και ΔΡ η διαφορά πίεσης στα άκρα του σωλήνα εξαιτίας της οποίας ρέει το ρευστό. Υπενθυμίζεται ότι ο συντελεστής ιξώδους η εξαρτάται από το είδος του ρευστού και την θερμοκρασία (το ίδιο ισχύει και για την ειδική αντίσταση ρ).

Αντικαθιστώντας τα αντίστοιχα ρευστομηχανικά μεγέθη στην εξίσωση (1) – παραλείπουμε τις αριθμητικές σταθερές – παίρνουμε για την παροχή κυλινδρικού σωλήνα:

\Pi \sim \frac{\Delta P \, r^{4}}{\eta \, \ell}

Η παραπάνω σχέση εκφράζει το νόμο του Poiseuille. Υπολογίζει την παροχή ενός οριζόντιου (ή κατακόρυφου) σωλήνα συναρτήσει των διαστάσεων του κυλινδρικού σωλήνα (μήκος και ακτίνας r), της διαφοράς των πιέσεων ΔΡ στα δυο άκρα του σωλήνα και του συντελεστή εσωτερικής τριβής ή συντελεστή ιξώδους η. Διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1838 από τον Γάλλο φυσικό Jean Léonard Marie Poiseuille (λίγα χρόνια μετά από την διατύπωση του νόμου του Ohm !)

Η ακριβής μαθηματική μορφή του νόμου του Poiseuille είναι:

\Pi = \frac{\pi \, \Delta P\, r^{4}}{8 \, \eta \, \ell}

Ο νόμος Poiseuille εκφράζει την παροχή ενός σωλήνα εξαιτίας της διαφοράς πίεσης στα άκρα του, η οποία όμως «εμποδίζεται» από την εσωτερική τριβή (ιξώδες) του υγρού,
ενώ ο νόμος του Ohm εκφράζει την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος εξαιτίας της διαφοράς δυναμικού στα άκρα του, το οποίο εμποδίζεται από την ωμική αντίσταση του αγωγού.

Η αναλογία των νόμων Ohm και Poiseuille αντανακλάται και στον υπολογισμό της «ολικής αντίστασης» σε παράλληλη ή σε σειρά σύνδεση είτε μεταλλικών αντιστατών που διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα είτε σωλήνων που διαρρέονται από κάποιο ρευστό:

%ce%b1%ce%bd%cf%84%ce%b9%cf%83%cf%84%ce%ac%cf%84%ce%b5%cf%82

Ροή αίματος σε αγγεία του κυκλοφορικού συστήματος (α) συνδεση σε σειρά (β) παράλληλη σύνδεση