Marcus du Sautoy: αν κυβερνούσα τον κόσμο …

το πρώτο πράγμα που θα έκανα θα ήταν να βεβαιωθώ ότι ο καθένας από εμάς έχει κατανοήσει την απόδειξη του Ευκλείδη

Marcus du Sautoy

Marcus du Sautoy

«Αν κυβερνούσα τον κόσμο, το πρώτο πράγμα που θα έκανα θα ήταν να βεβαιωθώ ότι ο καθένας από εμάς έχει κατανοήσει την απόδειξη του Ευκλείδη(*) με την οποία αποκαλύπτει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί», γράφει ο Βρετανός μαθηματικός και συγγραφέας Marcus du Sautoy σε πρόσφατο άρθρο του στο περιοδικό Prospect. Και εξηγεί: «Σε ορισμένους, μπορεί να μοιάζει παράξενη επιθυμία, επειδή από μόνη της η απόδειξη του Ευκλείδη δεν φαίνεται να είναι χρήσιμη σε κάτι. Αλλά αυτό που δείχνει είναι τη δύναμη της αναλυτικής σκέψης και τη μαγεία των μαθηματικών. Η μελέτη της σκέψης του Ευκλείδη θα μπορούσε να αναπτύξει στο μυαλό των ανθρώπων την ιδέα ότι τα μαθηματικά, αυτό το εξαιρετικό εργαλείο, μπορούν να μας βοηθήσουν να πορευτούμε στον κόσμο και να προβλέψουμε το μέλλον. Όσα γνωρίζουμε, για παράδειγμα, για την κλιματική αλλαγή, τα οφείλουμε στις μαθηματικές εξισώσεις».

Στη συνέχεια, ο Marcus du Sautoy ασκεί κριτική στον τρόπο που οι κυβερνήσεις και τα εκπαιδευτικά συστήματα, ανά τον κόσμο, διδάσκουν τις μαθηματικές δεξιότητες, ώστε να φανούν, όπως θεωρούν, χρήσιμες στους ανθρώπους. Για εκείνον, αυτό που θα έπρεπε να διδάσκεται είναι ο τρόπος συγκρότησης ενός λογικού επιχειρήματος και να μπορεί κάποιος να διακρίνει τη συμπεριφορά των μαθηματικών προτύπων. «Με την απόδειξη του Ευκλείδη βλέπεις πώς μια πεπερασμένη σειρά λογικών επιχειρημάτων μπορεί να οδηγήσει σε μια συναρπαστική αποκάλυψη: να συλλάβεις την έννοια του απείρου. Αυτό, για μένα, είναι ένα εκπληκτικό επίτευγμα της ανθρώπινης σκέψης».

Ο Marcus du Sautoy συγκρίνει, επίσης, τον τρόπο διδασκαλίας των μαθηματικών με το μάθημα διδασκαλίας ενός μουσικού οργάνου στο οποίο οι μαθητές είναι υποχρεωμένοι να μαθαίνουν, διαρκώς, κλίμακες και τεχνικές λεπτομέρειες, χωρίς να ακούν ποτέ πραγματική μουσική. «Μια άλλη αποστολή μου», προσθέτει, «θα ήταν να καταργήσω τα όρια ανάμεσα στα θέματα των σχολικών μαθημάτων. Θα ήθελα πολύ να φτάσει η στιγμή που θα μπορούν να μετακινούνται οι μαθητές με ευκολία από τα μαθηματικά στον κόσμο της μουσικής. Η Ιστορία, επίσης, είναι ένα αρκετά σημαντικό συστατικό της φύσης των μαθηματικών: πώς συνδέεται, για παράδειγμα, η απόδειξη του Ευκλείδη με την ελληνική σκέψη της εποχής του; Γιατί έφτασε σε αυτό το συμπέρασμα τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή;»

Για τον Βρετανό μαθηματικό, τέλος, τα μαθηματικά δεν είναι απλώς ένα εργαλείο για να περιηγηθούμε στο Σύμπαν, αλλά, στην ουσία, μια απάντηση γιατί έχουμε αυτό το Σύμπαν – το πώς μπορούμε να πάρουμε κάτι από το τίποτα.

Γιώργος Καρουζάκης, thalesandfriends.org – Prospect

 

(*) Η απόδειξη του Ευκλείδη : Οι πρώτοι αποτελούν τους οικοδομικούς λίθους στο βασίλειο των αριθμών, γιατί όλοι οι άλλοι αριθμοί είναι σύνθετοι, εφόσον παράγονται παίρνοντας γινόμενα πρώτων. Ακόμα και η πιο επιπόλαια μελέτη αποκαλύπτει ότι οι πρώτοι αραιώνουν όπως προχωρούμε σε ολοένα μεγαλύτερους αριθμούς. Εγείρεται λοιπόν το ερώτημα: σταματούν κάπου; Δηλαδή υπάρχει κάποιος τελευταίος πρώτος και όλοι οι αριθμοί που τον ακολουθούν είναι σύνθετοι; Ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που το απάντησε και μάλιστα κατά τον τέλειο τρόπο.
Κανένας ηλεκτρονικός υπολογιστής δεν θα μπορούσε να απαντήσει στο ερώτημα, εφόσον είναι ερώτημα που αφορά το άπειρο. Μόνο ο νους μπορούσε. Εδώ είναι λοιπόν η απόδειξη του Ευκλείδη. Ας υποθέσουμε ότι, τουναντίον, το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο, επομένως μπορούμε να τους απαριθμήσουμε κατά αύξουσα τάξη, παραλείποντας την μονάδα:
p1• p2• … • pn
Aς εξετάσουμε τότε τον αριθμό
Μ=Π+1
όπου Π είναι το γινόμενο
Π= p1• p2• … • pn
Εφόσον ο Μ είναι μεγαλύτερος από τον τελευταίο πρώτο, τον pn, πρέπει να είναι σύνθετος αριθμός. Επομένως, ο Μ έχει κάποιον πρώτο παράγοντα, ας πούμε τον q. Άρα ο q είναι ένας από τους p1, p2, … , pn.
Ωστόσο, εάν q= pk για κάποιο k=1, …, n, τότε, εφόσον ο q διαιρεί τον Μ και επίσης προφανώς διαιρεί το γινόμενο Π, κατ’ ανάγκη διαιρεί την διαφορά τους, δηλαδή την μονάδα. Τούτο όμως είναι άτοπο. Γιατί κανείς αριθμός, εκτός από την ίδια την μονάδα, δεν διαιρεί την μονάδα, και έχουμε παραλείψει την μονάδα από την παραπάνω απαρίθμηση.
Επομένως, το αντίθετο της αρχικής μας υποθέσεως πρέπει να ισχύει, δηλαδή το σύνολο των πρώτων αριθμών πρέπει να είναι άπειρο.
Όσο απλή κι αν φαίνεται αυτή η απόδειξη, θεωρείται ακόμα ως μια από τις κομψότερες σε όλα τα μαθηματικά. Ας σκεφτούμε τις επαναστάσεις στην ιστορία της σκέψεως που περιέχονται σε αυτό το απλό κομμάτι μαθηματικών.
Πρώτον, ότι ο νους μπορεί να θέσει ένα ερώτημα που αφορά το άπειρο . Δεύτερον, ότι ο νους μπορεί να δώσει την απάντηση κατά έναν καθοριστικό και μη αμφισβητήσιμο τρόπο. Τρίτον, ότι η αλήθεια βρίσκεται δείχνοντας ότι η αντίθετη υπόθεση οδηγεί σε άτοπο. Όλες οι μεγάλες αποδείξεις στα μαθηματικά από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι σήμερα έχουν χρησιμοποιήσει την ευκλείδεια μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής…»
(από το βιβλίο του Δημήτρη Χριστοδούλου, «Τα μαθηματικά στην αρχαία Αλεξάνδρεια, Ευκλείδης – Αρχιμήδης» – εκδόσεις Ευρασία)



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες:

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: