Πόσο νεώτερο είναι το κέντρο της Γης από την επιφάνειά της;

Posted on 22/04/2016

2


ή ένα αριθμητικό λάθος του Richard Feynman

feynman_gravityΚατά το ακαδημαϊκό έτος 1962–63, ο Feynman έδωσε στο Caltech μια σειρά διαλέξεων για τη βαρύτητα, με ακροατήριο προχωρημένους μεταπτυχιακούς φοιτητές και μεταδιδακτορικούς υποτρόφους που ήταν εξοικειωμένοι με τις μεθόδους της σχετικιστικής κβαντικής θεωρίας πεδίου [Οι διαλέξεις του Richard Feynman για τη Βαρύτητα].

Στην 5η διάλεξη ο Feynman αναφέρθηκε στο φαινόμενο της διαστολής του χρόνου σ’ ένα βαρυτικό πεδίο. Κλείνοντας την ενότητα αυτή συνέκρινε το φαινόμενο αυτό με το «παράδοξο των διδύμων» της ειδικής σχετικότητας, επισημαίνοντας ότι εδώ δεν υπάρχει κάτι παράδοξο:
«…Ο άνθρωπος στην κορυφή ενός βουνού ζει και γερνάει με ταχύτερο ρυθμό από ότι εμείς· τον βλέπουμε να κινείται ταχύτερα. Όταν μας κοιτάζει με τη σειρά του, μας βλέπει να κινούμαστε πιο αργά από ότι αυτός. Δεν είναι σαν τη διαστολή του χρόνου των υψηλών ταχυτήτων, όταν κάθε παρατηρητής βλέπει τον άλλο να κινείται πιο αργά. Δεν υπάρχει τρόπος να αυξήσουμε σημαντικά τη διάρκεια της ζωής μας με το να μετακομίσουμε στην Κοιλάδα του Θανάτου· οι ρυθμοί γήρανσης αλλάζουν πολύ λίγο. Παρ’ όλα αυτά, θα έπρεπε ίσως να είμαστε πιο προσεκτικοί στο μέλλον όταν μιλάμε για τις ηλικίες αντικειμένων όπως η Γη, αφού το κέντρο της Γης θα πρέπει να είναι μια ή δυο μέρες νεότερο από την επιφάνειά της!»

Κι όμως εδώ ο Feynman μάλλον έκανε λάθος (ακόμα και οι ιδιοφυΐες κάνουν λάθη). Αντί για «μια ή δυο μέρες» θα έπρεπε να έχει υπολογίσει «ένα ή δυο χρόνια»! Αυτό το λάθος επισημαίνουν οι U.I. Uggerhøj al στο άρθρο τους με τίτλο «The young center of the Earth».

To βαρυτικό πεδίο επηρεάζει τον ρυθμό με τον οποίο ρέει ο χρόνος. Αυτό σημαίνει ότι μια υποθετική μέτρηση της ηλικίας ενός μεγάλου αντικειμένου όπως η Γη θα δώσει διαφορετικά αποτελέσματα, ανάλογα με το αν η μέτρηση πραγματοποιείται στην επιφάνεια της γης ή κοντά στο κέντρο της. Εφόσον υπάρχει διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ επιφάνειας και κέντρου Γης ο χρόνος θα ρέει με διαφορετικό ρυθμό στην περιοχή του κέντρου σε σχέση με την επιφάνεια της Γης.

Και όταν λέμε ηλικία της Γης αναφερόμαστε στην ηλικία που προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας π.χ. τον ρυθμό διάσπασης των ραδιενεργών στοιχείων. Οι ραδιενεργές διασπάσεις ενός συγκεκριμένου δείγματος που πραγματοποιούνται κοντά στο κέντρο της Γης είναι λιγότερες απ’ ότι στην επιφάνειά της. Με άλλα λόγια η «γήρανση» των ραδιενεργών στοιχείων – και όχι μόνο αυτών – γίνεται γρηγορότερα στην επιφάνεια της Γης σε σχέση με το κέντρο της.

Για να το κατανοήσουμε αυτό αρκεί να ακολουθήσουμε την συλλογιστική της «πτώσης του φωτός» στο πείραμα Pound–Rebka (βλέπε ΕΔΩ). Φανταζόμαστε μια πηγή φωτός με καλά ορισμένη συχνότητα f_{0} που είναι τοποθετημένη στην επιφάνεια της Γης και εκπέμπει φωτόνια προς το κέντρο της. Ένας δέκτης που βρίσκεται στο κέντρο της λαμβάνει το σήμα από την επιφάνειά της με συχνότητα που υπολογίζεται από τη σχέση:
f = f_{0}(1+\Delta \Phi /c^{2}
όπου \Delta \Phi = \Phi (R) - \Phi (0)
με \Phi(R) =-GM/R το δυναμικό στην επιφάνεια της Γης και
\Phi(0) =-3GM/2R το δυναμικό στο κέντρο της Γης (να μια ωραία άσκηση κλασικής φυσικής).

Έτσι προκύπτει ότι f = f_{0}(1+ \frac{GM}{2Rc^{2}})= f_{0}(1+ gR/2c^{2}) ή \frac{f - f_{0}}{f_{0}} = \frac{gR}{2c^{2}}

Βλέποντας την συχνότητα ως το αντίστροφο μιας χρονικής περιόδου και χρησιμοποιώντας τις τιμές
ακτίνα Γης: R = 6371 km , ηλικία της (επιφάνειας) Γης: Τ0=4,54·10χρόνια , ταχύτητα φωτός: c=3·108m/s, επιτάχυνση της βαρύτητας (στην επιφάνεια της Γης): g=9,8 m/s2
προκύπτει ότι το κέντρο της Γης είναι νεώτερο από την επιφάνειά της κατά 1,57 χρόνια. Σημειώνεται ότι  η διαφορά χρόνου που οφείλεται στην γραμμική ταχύτητα της επιφάνειας της Γης είναι πολύ μικρή σε σχέση με την τιμή αυτή και μπορεί να αγνοηθεί.

Βέβαια όλα τα παραπάνω προκύπτουν αν θεωρήσουμε ότι η Γη είναι ομογενής σφαίρα. Αν θεωρηθεί ένα πιο ρεαλιστικό μοντέλο για το εσωτερικό της Γης (όπως έγινε και εδώ: Ελεύθερη πτώση προς το κέντρο της Γης) τότε προκύπτει μεγαλύτερη διαφορά: το κέντρο της Γης είναι νεώτερο από την επιφάνειά της κατά 2,5 χρόνια.

 

Ετικέτα: