“Α’ ΠΡΕΣΒΗΣ: Απαίσιο θέαμα· κι η αποστολή μας απ’ την Αγγλία φτάνει αργά· τα’ αφτιά ‘ναι αναίσθητα που θα μας έδιναν ακρόαση, για να μάθει πως έγινε το θέλημά του και πέθαναν ο Ρόζενκραντζ κι ο Γκίλντενστερν. Ποιος θα μας πει το ευχαριστώ;”
ΑΜΛΕΤ, William Shakespeare

Ο Γάλλος μαθηματικός ντε Μουάβρ, ο οποίος ανακάλυψε το 1733 την κανονική κατανομή, ενδιαφέρθηκε για ένα πρόβλημα ιδιαιτέρως αγαπητό στους τζογαδόρους:
Πως μπορεί να ξέρει κανείς αν ένα κέρμα είναι «τίμιο»; 
Στρίβοντας ένα τίμιο κέρμα είναι εξίσου πιθανό να φέρουμε κεφάλι ή γράμματα. Μετά από 100 στριψίματα ενός τίμιου κέρματος θα έπρεπε να πάρουμε ως αποτέλεσμα 50 φορές κεφάλι. Αυτός, όμως, είναι απλώς ένας μέσος όρος, τη μια το αποτέλεσμα μπορεί να είναι 43 φορές κεφάλι, την άλλη 62. Για την ακρίβεια οποιοδήποτε αποτέλεσμα από 0 έως 100 φορές κεφάλι είναι δυνατό, αλλά ορισμένα αποτελέσματα είναι εξαιρετικά απίθανα. Για να διαπιστώσει κανείς αν ένα κέρμα είναι δίκαιο πρέπει να γνωρίζει την πιθανότητα των διάφορων αποτελεσμάτων.

O σκηνοθέτης Δημήτρης Μυλωνάς μιλά για το θεατρικό έργο «Ο Ρόζενκραντζ και ο Γκίλντενστερν είναι νεκροί»:

Στο θεατρικό έργο του Τομ Στόπαρντ, «Ο Ρόζενκραντζ και ο Γκίλντενστερν είναι νεκροί», οι δυο ήρωες του τίτλου στοιχηματίζουν για το στρίψιμο ενός κέρματος που μπορεί να είναι ή να μην είναι τίμιο.

Ο Γκίλντενστερν που έχει στοιχηματίσει στα γράμματα αναστατώνεται όταν το κέρμα φέρνει κεφάλι 85 συνεχόμενες φορές. Λογομαχεί με τον Ρόζενκραντζ, που δεν βλέπει κανένα πρόβλημα:
Γ: Καμία ερώτηση; Ούτε καν μια παύση;
Ρ: Εσύ ο ίδιος το έστριψες.
Γ: Καμία απορία, καμία αμφιβολία;
Ρ: Μα κέρδισα. Έτσι δεν είναι;
Γ. Κι αν είχες χάσει; Αν το αποτέλεσμα ήταν εναντίον σου 85 φορές η μια μετά την άλλη, έτσι απλά;
Ρ: 85 φορές στη σειρά. Γράμματα;
Γ: Ναι! Τι θα σκεφτόσουν;
Ρ: Ε.. λοιπόν, καταρχάς θα εξέταζα προσεκτικά τα κέρματά σου.

Όταν έρχεται στο προσκήνιο το συμφέρον, τα μαθηματικά βοηθούν. Ο Γκίλντενστερν λέει: «η ηρεμία ενός μέσου τζογαδόρου που στρίβει νομίσματα εξαρτάται από ένα νόμο, ή μάλλον μια τάση, ή, ας πούμε, μια πιθανότητα, ή, εν πάση περιπτώσει, μια μαθηματικά υπολογίσιμη τυχαιότητα, που εξασφαλίζει ότι ο ίδιος δεν θα εκνευριστεί αν χάσει πολλές φορές, ούτε θα εκνευρίσει τον αντίπαλό του κερδίζοντας πολύ συχνά. Η υποψία του Γκίλντενστερν ότι το νόμισμα ήταν «πειραγμένο» θα μπορούσε να επιβεβαιωθεί αν γνώριζε την κανονική κατανομή του Ντε Μουάβρ, δηλαδή την κατανομή της πιθανότητας των αποτελεσμάτων που μπορούμε να αναμένουμε όταν στρίβουμε ένα νόμισμα πολλές φορές.

Το αντίστοιχο απόσπασμα από την κινηματογραφική ταινία «Ο Ρόζενκραντζ και ο Γκίλντενστερν είναι νεκροί»:

Χρησιμοποιώντας λίγο απειροστικό λογισμό, που είχε επινοηθεί προσφάτως από τον φίλο του Ισαάκ Νεύτωνα, και μερικά τεχνάσματα απαρίθμησης του Μπλεζ Πασκάλ, ο Ντε Μουάβρ βρήκε την πιθανότητα κάθε δυνατού αποτελέσματος όταν στρίβουμε πολλές φορές ένα κέρμα. Όπως ήταν αναμενόμενο, ο τύπος περιγράφει μια καμπύλη που φτάνει στην κορυφή όταν τα αποτελέσματα – κεφάλι και γράμματα – είναι ίσα και χαμηλώνει συμμετρικά προς τις δυο κατευθύνσεις, αριστερά και δεξιά. Σε κάθε πλευρά της κεντρικής κορυφής η καμπύλη της κανονικής κατανομής θυμίζει τις πλαγιές ενός λόφου που προσφέρεται για έλκηθρο, οι οποίες χαμηλώνουν απότομα στην αρχή και μετά εξομαλύνονται σταδιακά (…)

Η πιθανότητα να έρθει κεφάλι όταν στρίβουμε ένα νόμισμα, είναι ανεξάρτητη από το αν προηγουμένως είχε έρθει κεφάλι μια φορά, ή ακόμη και 84 φορές συνεχώς. Σε μια στιγμή αισιοδοξίας, ο Γκίλντενστερν θεώρησε την παρατεταμένη κακοτυχία του ως «μια εντυπωσιακή δικαίωση της αρχής σύμφωνα με την οποία κάθε ξεχωριστό στρίψιμο κάθε ξεχωριστού νομίσματος είναι εξίσου πιθανό να έχει ως αποτέλεσμα κεφάλι ή γράμματα, συνεπώς δεν θα έπρεπε να ξαφνιαζόμαστε κάθε ξεχωριστή φορά που συμβαίνει αυτό.

Για να δείτε πόσο πιθανό είναι να προκύψουν μαζί δυο ανεξάρτητα, τυχαία γεγονότα, πολλαπλασιάστε τις πιθανότητες να προκύψει καθένα από αυτά ανεξάρτητα. Αυτή η περιγραφή είναι ο μαθηματικός ορισμός της ανεξαρτησίας. Έτσι, η πιθανότητα να εμφανιστεί κεφάλι δυο φορές στη σειρά είναι ½ ∙ ½  = ¼ , αφού η πιθανότητα να προκύψει κεφάλι 85 φορές στη σειρά, είναι ½ ∙ ½ ∙ ½ ∙··· ογδόντα πέντε φορές, ή ½⁸⁵ , δηλαδή περίπου μια στις 4·10²⁵. Έχουμε εδώ έναν ακόμη από εκείνους τους αριθμούς που είναι τόσο μεγάλοι ώστε θα μπορούσαν κάλλιστα να θεωρηθούν άπειροι. Ακόμη κι αν  κατόρθωνε να στρίψει το νόμισμά του πολλά τρισεκατομμύρια φορές το δευτερόλεπτο, ο Γκίλντενστερν δεν θα μπορούσε ευλόγως να αναμένει μια τέτοια σειρά από κεφάλια πριν όλα τα άστρα καούν και γίνουν κάρβουνα. Είτε συνέβαινε κάτι ύποπτο μ’ εκείνο το νόμισμα, είτε ο Γκίλντενστερν είχε κερδίσει τον πρώτο λαχνό στην κοσμική λοταρία.

Πηγή: «TO ΜΥΑΛΟ ΜΟΥ ΕΙΝΑΙ ΑΝΟΙΧΤΟ. Τα μαθηματικά ταξίδια του Πολ Έρντος«, Bruce Schechter,  εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ 

Κατηγορίες:ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΣΙΝΕΜΑ

Ετικέτες: ΘΕΑΤΡΟ, PHYSICS